20190424 笔记

乔治·伽莫夫《从一到无穷大》

第一章《大数》

三个无穷数

在《牛津通识读本：数学》里面也有探讨过数和无穷大，很一致的内容就是在很久以前，在某些部落族群中，3已经算是极大的数字了，再大一点的数字因为不常被用以至于难以想象它们的存在，更别说无穷大。

而十进制的计算法，由某不具名的印度数学家发明的表示方法存在了还不到两千年，但这的确是一项伟大的发明。

阿基米德在其著作中所提出来的记录大数的方法颇类似于现代科学计数方法。他从古希腊算术中最大的数字单位万开始，引进了一个新的数字“万万”，也就是“亿”作为第二级单位，然后是“亿亿”作为第三级单位，“亿亿亿”作为第四级单位，以此类推。在阿基米德时代，找到书写大数字的方法不仅是一项伟大的发现，还促使数学向前迈出了重要的一步。

从现在的角度看来，于我自己而言，确实难以想象在今日看似如此简单的公式定理、约定俗成的方法，它的由来却是经历了千年之久，但也是其魅力所在吧。

一个关于大数的科学常识：

10亿英里的距离刚刚超过土星到太阳的距离。要知道，望远镜所能探测到的宇宙距离现在已达到5000000000000000000000英里，所以要填满目前可见的宇宙，所需要的沙粒数量应当超过10的100次方（1后面跟100个0）。

数学猜想历史学家鲍尔讲述了这样一个故事：

在世界的中心贝拉那斯宏伟的神殿中，安放着一块铜板，铜板上有三根金刚石针，每根有1肘尺长（1肘尺约为20英寸），如蜂针一样细。在创世之时，主神梵天将64个纯金圆片放在了其中一根针上，最大的金片放在最下面紧贴着铜板，越往上金片越小。这就是婆罗门之塔。夜以继日，当班的僧侣必须将这些金片从一根针上移到另一根针上，根据梵天给出的固定法则，僧侣每次只能移动一个金片，并且金片必须被放在某个针上，以确保大的金片不会被放在小金片的上面。当64个金片都被从天神已穿好的针上移动到另一根上时，梵塔、寺庙及众生都将化为灰尘，伴随着一声霹雳，整个世界都会消失。你可以自己动手做一个这样的解谜玩具，用硬纸板代替金片，用长铁钉代替印度神话中的金刚石针。要发现移动金片的总体规律并不难，你很快就可以看出，每成功转移一个金片所需要的移动步数都是前一个的两倍。第一个金片只需移动一下，但随后移动的金片所需的步数呈几何级数增长，所以到第64个金片时，总共所需要的移动步数与西萨要求的麦粒的数量一样多。注3注3如果我们只有7个圆盘，则需要的步数是：1+2^1+2^2+2^3+…，或者2^7-1=2×2×2×2×2×2×2-1=127如果你非常迅速且无误地移动圆盘，大概需要一个小时才能完成这项任务。如果有64个圆盘，那么需要移动的总步数就是：2^64-1=18446744073709551615这正好是西萨所要求的麦粒的数目。

现实中有个玩具就叫做汉诺塔，三个柱子8个圆盘依照以上的规则摆放、移动，游戏其实规律简单，但正因为移动次数因圆盘个数不断递增而变多，稍一分神就会无法完成。（挺好玩）

著名数学家格奥尔格·康托尔首次“所有数字的数量更大还是一条线上点的数量更大？”这样的问话，咋看之下这样的问题无意义吗，但实际上的证明过程（一一对应的证明）很有趣，相关的结论更有趣：

①所有偶数的数量与所有数字的数量是相等的。

②实际上，在无穷数的世界里，“部分可能等于整体”！

③一条线上点的数量要多于所有整数的数量或分数的数量。

④一个平面上所有的点的数量与一条线上所有的点的数量是相等的。

⑤一个立方体里所有点的数量的无穷数与代表一个平面或一条线段上的所有点的数量的无穷数也是相等的。

⑥所有的曲线的样式总数比所有几何点的数量还要多，因此被描述为第三级无穷序列。

《从一到无穷大》中，关于大数，所提供的论证思路都还蛮容易读懂的，也有趣。