Projection 和 Rejection

2022-09-14 本文已影响0人暴走TA

为了便于书写，我们约定
$\vec{a}=\vec{OA}$
$\vec{b}=\vec{OB}$
$\vec{c}=\vec{OC}$

Projection

求一个向量在另一个向量上的投影，简单理解如下图：

向量A在向量B上的投影，也就是向量C
其公式为：

\vec{c}=\vec{b}*\frac{dot(\vec{a},\vec{b})}{dot(\vec{b},\vec{b})}

这个公式看上去比较不好理解，分解一下有助于理解

dot(\vec{a},\vec{b})=\parallel\vec{a}\parallel\parallel\vec{b}\parallel\cos\theta

dot(\vec{b},\vec{b})=\parallel\vec{b}\parallel\parallel\vec{b}\parallel\cos\alpha

以为

\vec{b}和\vec{b}

的夹角为0 （自己和自己的夹角肯定为0）所以

\cos\alpha=\cos(0)=1

所以

dot(\vec{b},\vec{b})=\parallel\vec{b}\parallel\parallel\vec{b}\parallel

带入

\vec{c}=\vec{b}*\frac{\parallel\vec{a}\parallel\parallel\vec{b}\parallel\cos\theta}{\parallel\vec{b}\parallel\parallel\vec{b}\parallel}

约一下

\vec{c}=\vec{b}*\frac{\parallel\vec{a}\parallel\cos\theta}{\parallel\vec{b}\parallel}

为了好理解可以换一下位置
$\vec{c}=\frac{\vec{b}}{\parallel\vec{b}\parallel}*\parallel\vec{a}\parallel\cos\theta$ 其中 $\frac{\vec{b}}{\parallel\vec{b}\parallel}$ 是 $\vec{b}$ 方向上的单位向量（长度为一）

$\parallel\vec{a}\parallel\cos\theta$ 是 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的长度
所以长度乘以方向，得到了新的 $\vec{c}$ 即 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影

Rejection

求得是两个向量 $\vec{a} 和 \vec{b}$ 投影处的垂直向量 $\vec{CA}$

A向量在B向量上的投影垂直向量

其公式为：
$\vec{CA}=\vec{a}-\vec{b}*\frac{dot(\vec{a},\vec{b})}{dot(\vec{b},\vec{b})}$
也就是
$\vec{CA}=\vec{a}-\vec{c}$
这个对于使用计算一个面的顶点向面中心的向量很有用处的

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