由一个数学式引发的思考

由一个数学式引发的思考

有个流传很广的数学表达式，从我初中时就见过。表达式没0.99的365次方和1.01的365次方的数值比较，分别为0.03，37.8。下面附了一行解读，积跬步以至千里，积怠惰以至深渊。还有升级版本，为1.02的365次方等于1377.4，0.98的365次方等于0.0006，同样也附了一行解读，只比你努力一点的人，已经甩你很远。

这些数学表达式本身是没错的，而数学表达式和下面的解读却隐含了一种假设，即认为我们每天的任务是串行的。也就是说，只有你完成了第一天任务，你第二天的任务才能完成，你第二天的任务完全基于第一天的任务，两者不是平行的。这个想法类似于钢厂生产钢铁。第一步是对铁矿石进行处理，第二步是冶炼，第三步是铸造。每一步都是基于之前的步骤，虽然流水线作业是可以同时进行这几步的，但是总的任务的完成量，即生产出的钢铁量与原材料的比值，却取决于每一步的完成量。加入第一步铁矿石的处理，完成量是百分之95，而后送入冶炼炉中进行冶炼，我们假设利用率还是百分之95，以后铸造，这一步的成品率仍假定为百分之95，那么最终总的成品率就是这个三个数值的乘积。这是一个典型的串行任务的案例。可是我们一年三百六十五天做的事，都是串行任务吗？都是一环扣一环，每一天取得的进展都必须依赖于前一天的工作吗？很显然不是这样。比如你今天学数学，明天学游泳，你学游泳的进步是不依赖于昨天学数学的进度的，这两个是并行任务。而学游泳的几个步骤，漂浮，手脚的动作，换气这几个步骤直接才可能存在串行执行的可能性。但是依据本人的经验，即使是对学游泳这么一个简单的任务，也不是一个串行的任务链，这几项事实上也是可以同时进行，同时学习的。我们的生活之中有哪些任务是严格串行执行的呢？较真地说，真的很少。我们学知识，老师总是说这门课有哪些先修课程，你必须要先学什么什么，才能学这门课，否则会影响这门课的学习。好像是个很典型的串行结构，事实上你在学这门课的时候，即使之前并没有系统地学过也行，你是可以在学习这门课，也就是执行当前任务的同时，一并把之前的课程给学习了。你总的对知识的掌握效率，也不是简单地等于两门课程掌握率的一个乘积。

我们实际处理任务的模式更接近于串并行共同进行的模式。我们既会把总的任务肢解成几个独立的可以同时进行的部分，又会对某些部分分成多个步骤，一步一步地按照时序去执行这个任务。

那么说到开头提到的表达式，如果你每天比别人多完成一天，是否会产生如此大的差距呢？答案是差距并不会如此显著。实际的表达式，应该既有相加，又有相乘。因此总的差距不会是像开头提到的表达式一样如此悬殊。实际生活中方法差距的并不是纯粹靠任务的完成量，而是靠广义的选拔机制。市场竞争，政界的竞争都可以看作一种广义的选拔。选拔机制对人进行了分类与筛选，而往往被选拔出的人会得到更多的资源，这使得他们能完成更多的任务，这会增大原有因为纯粹的效率问题而导致的差距。而每一层选拔都会造成一次的差距，这个积累效应是很可观的，近似可以认为是一种相乘的作用。

虽然这个表达式在生活中未必适用，但是却对我们的工业生产有重要的意义。比如我们的芯片工艺，假设有三十道独立的工序。假设每一道工序的成品率是百分之99，但是如果经过三十道工序之后，总的成品率只有百分之99的30次方只有百分之74，成品率不到四分之三。而这样高的报废率，工业生产是不能容许的。所以工业生产必须做到精益求精。假如我们可以做到三个九，即百分之99.9，总的成品率就是97.0％，而这个成品率，是我们可以接受的。理解了这些，我们才知道为什么芯片这么难做，要求三十个部门都要达到如此高的精度才可以，难度可想而知。在科学上，我们只关心，能不能出成果，而并不关心成品率，所以即使在实验室能够实现的东西，离真正的产业化还有很远的距离要走。

如果我们把眼光放到指数上，又会得到另一个启发，就是要尽量减少任务的复杂程度，或者叫系统的复杂程度。如果我们完成一个任务需要365个步骤，可想而知，最终我们成功的几率有多小。所以必须要尽量将任务简化为较少的步骤，这样才能保证最终的成功率。

这样的标语是经常出现的，普遍的特点是基于一个错误的假设，生硬地去说明一个道理，让大家去接受。这样做的结果只会适得其反，如果我们非要去说明某个道理，大可不必用如此方式，可以采用直观而又生动的故事进行例证或者进行严密的论证。依靠如此方式去灌输一个道理，这是违背了教育的宗旨的，教育应该是让我们自己去思考，去尝试得出一个结论，而不该是被如此生硬地灌输一个逻辑上错位的观念。