函数,导数与积分
函数的三要素
- 定义域：使得解析式有意义
- 对应关系：两个变量（x和y）以何种规则联系起来
- 值域：随着自变量的变化，因变量的“活动”范围
函数最常用的数集（区间）
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函数的特性
1.函数的有界性
2.函数的单调性 ---> 单调递增，单调递减
3.函数的奇偶性 ----> f(-x) = f(x) f(x)为偶函数 f(-x) = -f(x) ,f(x)为奇函数
4.函数的周期性
初等函数
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.
基本初等函数
-
幂函数 y=x^2
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-
指数函数 y=a^x(a>0,a不等于1)
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- 对数函数 y=logax
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- 三角函数
Y = sinx,y=cosx,y=tanx
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- 反三角函数
Y=arcsinx, y=arccosx, y=arctanx
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泊松分布
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高斯分布(正态分布)
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sigmoid函数
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三角函数
(cotx 余切函数，secx 正割函数,cscx 余割函数)
反函数
直接函数和反函数的图像关于直线y=x对称
复合函数
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介值定理
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无穷小和无穷大
1.高阶无穷小
- lim x^2/3x = 0 (在x->0 过程中，x^2 --> 0 比 x-->0 快一些
X->0
无穷大和无穷小.png
导数与积分
导数 描述函数的变化快慢
微分 描述函数变化程度
曲线的斜率 --->
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---> 导数
定义求导:
单侧导
设函数y = f(x)在点ｘ0的某个右(左)领域内有定义，若极限存在，则称此极限为f(x)在x0处的右（左）导数．
定理 y=f(x)在点x0可导的充要条件是左右导存在,且相等
定理 y=f(x)在点x可导 -----> y=f(x)在点x处连续, 不可互推
微分
定理 可微的充要条件是y=f(x)在点x0处可导
导数的实质，增量比的极限
导数的几何意义:切线的斜率
可导必连续，但连续不一定可导
互推
可导 ＝＝＝＝＝ 可微
基本导数与微分表
反函数求导 ----> 先求出他的原函数(直接函数)，反函数的导数为直接函数的倒数,1/f(x)
复合函数求导 ---> 二个函数，分为内外函数，先去求外部的函数导数，在去求内部函数的导数．
高阶导数 y^(4) ４阶以上的导数的表示方法.
导数的运算
- 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的
和(差), - 法则２:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数
- 法则3:两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函数的平方.即
不定积分
微分和积分互逆运算
微分 求导数
积分 知道导数的结果，求原函数
定理1 函数在f(x)区间Ｉ上连续，则f(x)在I上存在原函数.
定理2 若F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的所有原函数是F(x)+C(C为任意常数)
定义
记为
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基本积分表利用逆向思维
不定积分的集合意义
F(x) 的原函数的图形称为f(x)的积分曲线.
F(x) 的所有积分曲线组成的平行曲线族
不定积分的性质
1.不定积分的导数 ---> 就是原函数的导数 ---> 就是已知的导数f(x)
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1.不定积分的导数 ---> 就是原函数的导数 ---> 就是已知的导数f(x)
2.原函数的导数的积分，就是f(x) ----> 求完积分为F(x)+
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求极值步骤
1.求导数
2.求驻点，和导数不存在的点(极值的可疑点)
3.检测f(x)在可疑点左右的正负号，判断极值点(检测实在导数式)
4.求极值点
曲线的凹凸性
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求凹凸点步骤
1.求函数导数
2.另导数 =0 ,找出实根和二阶不可导点x0
3.用这些点划分函数的区间
4.F(x)在这些区间的正负号，判断凹凸区间
5.如果x0二近旁f(x)变号,点(x0,f(x0))即为拐点.
6.如果x0二近旁f(x)不变号,点(x0,f(x0))即不为拐点.
函数曲线的渐近线
直线 L 称为曲线C的渐近曲线是指：曲线上的点P 沿曲线无限远离原点时，点P与直线的距离趋于0.
一般来说,渐近线可分为: 斜渐近线, 水平渐近线与垂直渐近线
斜渐近线X 水平渐近线- 垂直渐近线｜
定积分
我们称这个极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分
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说明
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规定
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定积分的基本性质
假设下面涉及到的函数均是可积的．
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