仿射集

2020-03-17 本文已影响0人 0843d07b95d5

1线段与直线

我们先来看一个简单的问题，设 $x_1, x_2\in R^n$ ,我们用什么方法来表示过 $x_1, x_2$ 直线呢？或者说表示过 $x_1, x_2$ 的直线上的任意点呢？公式如下：
$\theta x_1 +(1-\theta)x_2$
如何表示两点之间的线段呢？公式如下：
$\theta x_1 +(1-\theta)x_2，\theta \in [0,1]$

2仿射集

仿射集定义：
如果一个集合 $c$ 是仿射集，那么 $\forall x_1, x_2 \in c$ $\theta x_1 +(1-\theta)x_2$ 这个点（过 $x_1, x_2$ 的直线上的点）也在集合 $c$ 内.(一条直线上的点组成的集合是仿射集，一个二维平面上的点组成的集合也是仿射集；但是线段就不是仿射集了)

仿射集定义推广：
上面通过两个点来定义仿射集，可不可以通过三个点，或者更多点呢？
有仿射集 $c$ , $x_1, x_2,x_3\in c; \theta_1, \theta_2, \theta_3\in R;$ $\theta_1+\theta_2+\theta_3=1$
我们称 $\theta_1x_1+\theta_2x_2+\theta_3x_3$ 为仿射组合。若我们证明了仿射组合 $\theta_1x_1+\theta_2x_2+\theta_3x_3$ 这个点也在集合 $c$ 内，进而推广到n个点，那么我们就将仿射集的定义推广了。我们来证明3个点的情况：
点 $\frac {\theta_1}{\theta_1+\theta_2}x_1+\frac {\theta_2}{\theta_1+\theta_2}x_2$ 这个点根据定义肯定在仿射集内。
对于 $(\theta_1+\theta_2)(\frac {\theta_1}{\theta_1+\theta_2}x_1+\frac {\theta_2}{\theta_1+\theta_2}x_2)$ + $(1-\theta_1-\theta_2)x_3$ 根据定义也在仿射集 $c$ 内。将该式展开得 $\theta_1x_1+\theta_2x_2+\theta_3x_3$ 。对与4个点、5个点....n个点就不再证明了。

仿射集的性质：
有了上面的推广我们来思考一下：有仿射集 $c$ , $x_1, x_2 \in c$ ,那么 $\alpha x_1+ \beta x_2 \in c$ ? $(\alpha,\beta \in R)$ 显然不一定成立。那么我们来看一下这样一个仿射集 $v = c -x_0,x_0\in c$ ,仿射集 $v$ 是由仿射集 $c$ 平移得到的。那么对于仿射集 $v$ , $\alpha x_1+ \beta x_2 \in v ,(\alpha,\beta \in R)$ 成立吗？证明 $\alpha x_1+ \beta x_2 \in v$ 等价于证明 $\alpha x_1+ \beta x_2 +x_0\in c$ 证明如下：
$\alpha (x_1+x_0)+ \beta (x_2 +x_0) +(1-\alpha - \beta)x_0\in c$ $x_1+x_0 \in c, x_2+x_0 \in c$ 根据仿射集定义上式一定成立
展开：
$\alpha x_1+ \beta x_2 +\alpha x_0+\beta x_0+(1-\alpha - \beta)x_0\in c$
$\Rightarrow \alpha x_1+ \beta x_2 + x_0 \in c$
$\Rightarrow \alpha x_1+ \beta x_2 \in c-x_0$
$\Rightarrow \alpha x_1+ \beta x_2 \in v$
我们称仿射集 $v$ 是仿射集 $c$ 对应的一个子空间（注意空间必须存在原点， $x_0 \in c, c-x_0(v)$ 一定存在一个原点）。
为什么空间一定要存在原点呢？这个数学问题等我弄明白再写，数学功底太弱。

3重要例子：线性方程组的解集是一个仿射集

证明：
$c = \{x|Ax = b\}, A\in R^{m*n};x\in R^n; b\in R^m$
设 $x_1,x_2 \in c$
则 $A(\theta x_1+(1-\theta)x_2)$
$=\theta Ax_1 + (1-\theta)Ax_2$
$= \theta b +(1-\theta)b$
$= b$
得： $\theta x_1+(1-\theta)x_2 \in c$
所以线性方程组的解集是一个仿射集，其实任意一个仿射集也是线性方程组的解集可以试着根据定义证明一下。
我们来研究一下方程组解集的子空间：
$c = \{x|Ax=b \}$
$\Rightarrow c_1= \{x-x_0|Ax=b\}, Ax_0=b$
$\Rightarrow c_1= \{x-x_0|A(x-x_0)=0\}$
令 $x-x_0=y$
$\Rightarrow c_1= \{y|Ay=0\}$
这样我们就得到了一个化零空间， $y$ 中的任意一个元素右乘A都得零。其实我们直接 $c_1=\{x|Ax=0\}$ 就可以得到化零空间了。

4构造仿射集

给定任意集合 $c$ ,构造尽可能小的仿射集，即构造包含该集合的最小的仿射集,该集合被称为仿射包。(比如在二维平面里的例子，给定集合 $c^1$ 只包含 $x_1, x_2$ 两个点，用这两个点来构造最小的仿射集是一条直线)
仿射包（仿射包也是个仿射集合）定义： $aff \ \ c = \{\theta_0x_0+\theta_1x_1+...+\theta_ix_i+\theta_kx_k \}, \sum_{i=o}^{k}\theta_i=1,x_{0...k}\in c$

下篇：凸集

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3重要例子：线性方程组的解集是一个仿射集

4构造仿射集

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