【学习笔记】ML的核心-Loss Functions！
我写这篇很大的原因是因为感觉对各种Loss Functions掌握的不够。经我各种翻阅和调查99%的博客都只告诉你这些个Loss Function是什么，在什么模型下用，他们却不告诉你为什么，怎么来的。（我不会告诉你我是因为被阿里的面试官问了一堆Loss Function问成了个扑街仔才写这篇文章的orz）
希望对大家有所帮助！
0. 本篇大纲
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Loss Function的定义
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Regression与Classification对Loss Function的选择
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Regression中各种Loss Function的选择
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Classification中各种Loss Function的选择
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Credit
1. Loss Function定义
What it is?
- Loss Function(损失函数)是用来计算模型h(x)的预测值和（训练集中的）真实值y的不一致程度。
Why important?
- 在机器学习的各种模型中Loss Function是一个有非凡意义的概念！通过训练使Loss Function的逐渐减小，模型h(x)和（训练集中）真实值y就越接近，模型的bias就越小，我们就能够得到一个和训练集拟合程度越高的模型。（当然拟合过头overfit了，容易扑街= 。=）
2. Regression与Classification对Loss Function的选择
Main Reasons(万变不离其宗的理由): Loss Function(损失函数)是用来计算模型h(x)的预测值和（训练集中的）真实值y的不一致程度。（重要的事情重复三遍X1）
1. Regression:
How to choose Loss for Regression?
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Loss Function(损失函数)是用来计算模型h(x)的预测值和（训练集中的）真实值y的不一致程度。（重要的事情重复三遍X2）
所以对于Regression来说，Loss Function是指每个真实值与其线性模型h(x)不一致程度之合。h(x)与真实值越接近，cost越小，h(x)与真实值越远，cost越大。因此我们需要的cost function需要仅在=真实值的时候为0，越远离真实值越大（不论cost function是直的（MAE）还是弯的（MSE））。
通过使用这样的Cost function和Loss Function，我们就可以很好的找出最能够最好拟合一条符合真实值分布的线。
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2. Classification:
How to choose Loss for Classification?
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Loss Function(损失函数)是用来计算模型h(x)的预测值和（训练集中的）真实值y的不一致程度。**（重要的事情重复三遍X3）
所以对于Classification而言，Loss Function是指每一个真实分类y与其模型对其分类h(x)的不一致程度之和。h(x)分对了类，cost小，h(x)分错了类，cost大。因为我们需要cost function需要在分对类尽可能接近0或者直接等于0（当y=1的时候, h(x)>1的部分,当y=0的时候，h(x)<0的部分），分的不对的时候尽可能大（不论cost function是弯的(Log Loss)还是直的(Hinge Loss)）。
通过使用这样的Cost function和Loss Function，我们就可以很好的找出最能够最好拟合一条符合真实值分布的线。
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3. Regression VS Classification
Why MAE or MSE can not be used in Classification?
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（credit:What are the main reasons not to use MSE as a cost function for Logistic Regression?）
从上面这张图（y=1时各种cost function,x轴为z=θx）中我们很显然可以看出，MSE这个cost function仅在=真实值的时候为0，也就是仅仅在h(x)=1的时候cost=0。当h(x)>1的时候，cost增加了，然而在classification的定义中，h(x)>1的时候仍然是分为1这个类中的。cost根本不需要增加，也不能增加！由此说明MAE和MSE这种Loss Function是不适用于Classification的问题的。
What if I used MSE in Classification?
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(credit: 吴恩达 机器学习课程的某页PPT)
正如上图，如果在Classification中使用MAE，它的Loss Function是非凹(convex)的，但在Classification中使用Log Regression,它的Loss Function是convex的。（具体证明可以用Loss Function的二阶导恒大于等于0证明，大家可以上网搜一下）
What if I used Hinge Loss in Regression?
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当我们对Regression使用Hinge Loss：
如果全局仅仅只用y=1的这半边Hinge Loss，那么这个模型对<1的点是0容忍，>1的点是全部容忍，那么最终当Loss Function=0时，就会导致所有的点都在同一边。
如果用了y=1和y=0两边的Hinge Loss，那么对分类对且距离大于1的点是容忍的，对其他的不容忍，这就会导致迭代到最后所有点离那条线就会太远，这条线就不能很好的拟合所有的点，不是一个很好的Regression的线，而是变成一条分类的线了。
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3.Loss Function in Regression
(未完待续)
4. Loss Function in Classification
Classification中经典的Loss Functions大致有5种：
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Log Loss(Logist Regressionn)
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Focal Loss
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KL Divergence/Relative Entropy
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Exponential Loss(AdaBoost)
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Hinge Loss(SVM)
本文主要讲Log Loss, Hinge Loss, Exponential Loss这3种Loss Function。
1. Log Loss
Log Loss要从Logistic Regression的基本的intuition讲起。当有一个二分类的问题时，它的思想大致上是把一个线性回归的结果映射到(0,1)这个区间范围。当这个线性回归的结果映射在（0.5，1）分为一类，映射在（0，0.5）的时候分为另一类。
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同图上，我们对h(x)可以这样认为：h（x）代表的意义是在0和x给定的这个条件下，y取得1的概率，当h(x)>0.5时，分类为1，h(x)<0.5,分类为0。
由此我们可以通过条件概率的特有的属性，通过求Maximum Likelihood Estimation来求得可以使得所见到的训练数据出现概率最大。然后log化，通过log函数特有的性质，使连乘变成连加。
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这就是Log Loss来的思想，总结一下几个点：
1.基本intuition：将线性回归映射到（0，1）区间
2.g/h(x)代表概率,>0.5分到y=1的类，<0.5分到y=0的类
3.通过条件概率特有属性，通过MLE来求得训练数据出现概率最大
4.log化，连乘变连加，得出loss function,也得出每一个点的cost function
2. Hinge Loss
我在做国内的面试的时候经常被面试官考到让我对Logistic Regression和SVM做比较。讲道理来说，Logistic Regression和SVM的分类核心思想是完全不一样的，这就导致了它们的Loss Function的不同。
SVM的核心思想是在几何空间内做一个划分（h(x)），这个h(x)能使其两边的点尽可能有很大的区分度。所以Hinge Loss的每个点的cost function在分对且离线大于一定范围（一般为1）的时候为0，其他时候为cost=z+1（y=1时）或者cost=-z+1（y=-1时）。
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而它的loss function就是将这些cost function连加起来。
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（SVM的Loss Function不完全是Hinge Loss,之后我会写LR和SVM的比较中会写到。）
总结一下：
1.基本intuition：每个点都要离分类器这条线尽可能远。
2.每个点cost function在分对类且离分类器为1时，cost function等于0，其他时候为yz+1。
3.连加起来得到总体的Loss Function。
3. Exponential Loss
exponential loss一般是用于Adaboost的情况的。（Adaboost我没有很深入的了解,如果以后对其了解加深，可能会多写一些！）
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它的loss function是一堆cost function相加，每个cost function都是e的-zi次方。zi是分类器预测值加权和乘上分类器的标签。
总结一下:
1.每个点cost function是e的-zi次方，zi为分类器预测值加权和乘上分类器的标签。
2.连加起来得到的总和为Loss Function。
5. Credit
【深度学习】一文读懂机器学习常用损失函数（Loss Function)
What are the main reasons not to use MSE as a cost function for Logistic Regression?
Loss Functions for Regression and Classification
5 Regression Loss Functions All Machine Learners Should Know
