使用不变量确定平面与二次曲面的交线

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二次曲线不变量

$I_{1}=a_{11}+a_{22}, I_{2}=\left| \begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \\ {a_{12}} & {a_{22}}\end{array}\right|, \quad I_{3}=\left| \begin{array}{lll}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{1}} \\ {a_{12}} & {a_{22}} & {a_{2}} \\ {a_{1}} & {a_{2}} & {a_{0}}\end{array}\right|$

其中 $a_{11} x^{2}+2 a_{12} x y+a_{22} y^{2}+2 a_{1} x+2 a_{2} y+a_{0}=0$
而 $K_{1}=\left| \begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{1}} \\ {a_{1}} & {a_{0}}\end{array}\right|+\left| \begin{array}{ll}{a_{22}} & {a_{2}} \\ {a_{2}} & {a_{0}}\end{array}\right|$ 为半不变量
可用来判断二次曲线的形状：

image.png

平面的坐标转化

对于给定坐标系中的二次曲面，我们可以通过坐标变换，使得我们所给平面为 $z=0$ 这样只需看 $x和y$ 的关系，直接用上述的不变量进行判断即可。
给定平面方程: $A x+B y+C z+D=0(A^2+B^2+C^2=1)$ 当 $C\not=0$ 时 $\left\{\begin{array}{l}{x^{\prime}=-\frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} x+\frac{A}{\sqrt{A^{+} B^{2}}} y} \\ {y^{\prime}=-\frac{A C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} x-\frac{B C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} y+\sqrt{A^{2}+B^{2}} z} \\ {z^{\prime}=A x+B y+C z+D}\end{array}\right.$ 反解得 $\mathcal{T}=\left( \begin{array}{cccc}{-\frac{B}{\sqrt{A_{2}^{2}+B^{2}}}} & {-\frac{A C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}} & {A} & {-A D} \\ {\frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}} & {-\frac{B C^{2}}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}} & {B} & {-B D} \\ {0} & {\sqrt{A^{2}+B^{2}}} & {C} & {-C D} \\ {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right)$
若 $C=1$ 那么 $x=x^{\prime}, y=y^{\prime}, z=z^{\prime}+D$
那么新的曲面方程为 $G^{\prime}\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}\right)=\left(x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, 1\right) \mathcal{T}^{\prime} \mathcal{A} \mathcal{T} \left( \begin{array}{c}{x^{\prime}} \\ {y^{\prime}} \\ {z^{\prime}} \\ {1}\end{array}\right)$ 由于此时 $z'=0$ 那么我们只需要考察 $x',y'$ 之间的关系，使用二维的不变量来判断即可。

一些可能相交情况

椭球面

方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 那么 $D^{2}=A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}+C^{2} c^{2}$ 为两条虚的相交直线， $D^{2}<A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}+C^{2} c^{2}$ 为椭圆， $D^{2}>A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}+C^{2} c^{2}$ 为虚椭圆。

单叶双曲面

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$
当 $C^{2} c^{2}>A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}$ 为椭圆
$C^{2} c^{2}<A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}$ 与 $D^{2}+C^{2} c^{2}-A^{2} a^{2}-B^{2} b^{2} \neq 0$ 时为双曲线
$C^{2} c^{2}<A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}$ 与 $D^{2}+C^{2} c^{2}-A^{2} a^{2}-B^{2} b^{2} = 0$ 为两条相交的虚直线
$C^{2} c^{2}=A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}$ 与 $D\not=0$ 为抛物线
$C^{2} c^{2}=A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}$ 与 $D=0$ 为2条相交直线

双叶双曲面

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1$
$C^{2} c^{2}>A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}$ 与 $D^{2}<C^{2} c^{2}-A^{2} a^{2}-B^{2} b^{2}$ 为虚椭圆
$C^{2} c^{2}>A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}$ 与 $D^{2}>C^{2} c^{2}-A^{2} a^{2}-B^{2} b^{2}$ 为椭圆
$C^{2} c^{2}>A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}$ 与 $D^{2}=C^{2} c^{2}-A^{2} a^{2}-B^{2} b^{2}$ 为两条相交的虚直线
$C^{2} c^{2}<A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}$ 为双曲线
$C^{2} c^{2}=A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}$ 为抛物线
$C^{2} c^{2}=A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}$ 为两条平行虚直线

椭圆抛物面

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=2 z$
$C \neq 0,2 D C>A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}$ 虚椭圆
$C \neq 0,2 D C=A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}$ 两条相交虚直线
$C \neq 0,2 D C<A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}$ 椭圆
$C=0$ 抛物线

双曲抛物面

$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=2 z$
$C \neq 0,2 D C \neq A^{2} a^{2}-B^{2} b^{2}$ 双曲线
$C \neq 0,2 D C = A^{2} a^{2}-B^{2} b^{2}$ 两条相交直线
$C=0, \quad A^{2} a^{2}-B^{2} b^{2} \neq 0$ 抛物线
$C=0, \quad A^{2} a^{2}-B^{2} b^{2} = 0$ 两条重合直线

二次锥面

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0$
$C^{2} c^{2}>A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}, D \neq 0$ 为椭圆
$C^{2} c^{2}<A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}, D \neq 0$ 为双曲线
$C^{2} c^{2}<A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}, D = 0$ 为两条相交直线
$C^{2} c^{2}>A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}, D = 0$ 为两条相交虚直线
$C^{2} c^{2}=A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}, D \neq 0$ 为抛物线
$C^{2} c^{2}=A^{2} a^{2}+B^{2} b^{2}, D = 0$ 为两条重合直线