Friedmann宇宙（模型）

2018-12-26 本文已影响0人 deBroglie

一. 宇宙学原理

现有的观测结果（包括星系在大尺度上的分布和微波背景辐射的各向同性）印证了我们研究宇宙学的基本假设 ——

宇宙学原理：

（表述一）宇宙在大尺度上是均匀且各向同性的。
（表述二）宇宙中不同地点、同一时刻看到的宇宙图像相同。
（表述三）宇宙中没有任何地点是特殊的，所有位置都是平等的。

从宇宙学原理的观点出发，整个宇宙可以被视为密度均匀的流体，相应的将星系（团）视为这一流体中的质元。抛开完全静止的情形，整个流体只会各向同性的收缩。

二. FRW度规

1. 三维球面线元

类比二维球面的线元表达式 $\small{ds^2 = r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2{\theta} d\varphi^2}$ 我们可以写出（符合均匀性要求的）三维球面的线元表达式 $\small{ds^2 = f(r) dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2{\theta} d\varphi^2}$ 其中 $\small{f(r)}$ 表征空间弯曲程度， $\small{f(r)=1}$ 相应于平直空间，否则为弯曲空间。由Gauss曲率公式可求得三维曲面曲率： $\small{K = \frac{f'(r)}{2f^2(r)r} \Rightarrow \frac{d}{dr}\big(\frac{1}{f(r)}\big) = -2Kr}$ 解得 $\small{f(r) = \frac{1}{C-Kr^2}}$ 带入平直空间情况（ $\small{K=0,f=1}$ ）得到 $\small{C=1}$ ，于是 $\small{f(r) = \frac{1}{1-Kr^2}}$ 进一步宇宙学原理要求空间曲率 $\small{K}$ 各处相同，但可随时间 $\small{t}$ 演化（即 $\small{K=K(t)}$ ），于是 $\small{ds^2 = \frac{dr^2}{1-K(t)r^2} + r^2 d\theta^2 + r^2\sin^2{\theta} d\varphi^2}$

2. 物理坐标与共动坐标

引入定义 $\small{K(t) \equiv \frac{k}{a^2(t)},\quad \xi \equiv \frac{r}{a(t)}}$ 其中 $\small{k = +1, 0, -1}$ 分别对应于正曲率空间（闭合空间），平直空间，负曲率空间（开放空间）。 $\small{a(t)}$ 具有长度量纲，从而 $\small{\xi}$ 无量纲。

未完待续... ...

参考文献

向守平，冯珑珑编著《宇宙大尺度结构的形成》，中国科学技术出版社。