数学分析

高斯积分的计算

2019-09-24  本文已影响0人  壮志_凌云

一、\int_{- \infty}^{\infty} e^{-x^2}dx 的计算

设 I = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2}dx,做变量替换:x = ut, u>0,则:

\implies I = \int_{0}^{\infty} e^{-x^2}dx = \int_{0}^{\infty} e^{-u^2t^2} udt

\implies e^{-u^2} I = \int_{0}^{\infty} e^{-u^2(1 + t^2)} udt

\implies I \int_{0}^{\infty} e^{-u^2} du = I^2 = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-u^2(1 + t^2)} udtdu

\implies I^2 = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} e^{-u^2(1 + t^2)} ududt = \frac{1}{2}  \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{1 + t^2}

\implies I^2 = \frac{\pi}{4} \implies I = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

\implies \int_{- \infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = 2I = \sqrt{\pi}

二、伽玛函数的计算

伽玛函数的定义为 \Gamma (x) = \int_{0}^{\infty} t^{x-1} e^{-t} dt,通过分部积分可得:

\Gamma(x +1) = x \Gamma(x),则:

\implies \Gamma( \frac{1}{2} ) = \int_{0}^{\infty} t^{-\frac{1}{2} } e^{-t} dt = \int_{0}^{\infty} u^{-1} e^{-u^2} 2udu = \sqrt{\pi}

\implies \Gamma( \frac{2k + 1}{2} ) = \frac{ \prod_{i=0}^{k - 1} 2i + 1 }{ 2^k }  \sqrt{\pi}, k = 1, 2, \dots

三、\int_{- \infty}^{\infty} x^{2k} e^{-x^2}dx 的计算

由(二)中伽玛函数的结果可得,其中 k = 1, 2, \dots

\Gamma( \frac{2k + 1}{2} ) = \int_{0}^{\infty} t^{ \frac{2k - 1}{2} } e^{-t} dt,做变量替换:t = u^2, u > 0,则:

\implies \Gamma( \frac{2k + 1}{2} ) = 2 \int_{0}^{\infty} u^{2k} e^{-u^2} du = \int_{- \infty }^{\infty} u^{2k} e^{-u^2} du

\implies \int_{- \infty }^{\infty} x^{2k} e^{-x^2} du = \frac{ \prod_{i=0}^{k - 1} 2i + 1 }{ 2^k }  \sqrt{\pi}, k = 1, 2, \dots

即积分值等于从1开始的前 k 个奇数的乘积除以 2^k 的 \sqrt{\pi} 倍。

计算完毕。

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