球谐函数 SH 与 纤维束取向分布 FOD

弥散加权成像（DWI，这里有介绍）可以通过球形反卷积算法（Spherical Deconvolution）在球面谐波基（Spherical Harmonic basis，SH basis）上进行处理，得到 纤维束取向分布（ Fibre Orientation Distributions ，FODs）。FOD能够解析追踪大脑白质中纤维束的走向。

FOD

球谐函数（Spherical Harmonic ）是定义在球面上的特殊函数。它们形成一个完整的正交集，因此可以用来表示任何well-behaved 的球面函数。在许多方面，它们与球坐标（不是笛卡尔坐标）上定义的函数的傅里叶级数等价。它们的定义如下：

其中 l 和 m 分别代表 order 阶数 和 相位 phase（也被称为degree 和 order）。 是相关的勒让德多项式。谐波阶数 l 对应于基函数的角分辨率，比如所有 的 SH 基函数都在围绕球体的某个圈上有2次完整振荡。谐波相位 m，对应盖平吕夏不同的正交模式，比如振荡发生在不同的平面上。

球面上任何 well-behaved 的函数 都可以表示为其球谐展开式：

对于具有可忽略的高角频率内容的平滑函数，可以在一些合适的最大谐波阶数 处截断该级数，而几乎没有或没有精度损失：

较高的值允许表示更清晰的细节，但需要存储和处理更多的系数，通常选择是 8（相关研究）。

对于 dMRI，使用的 SH 级数经过了一些简化：

• 使用没有虚部的实数基
• 由于关于原点的对称性，可以忽略级数中的奇数阶

在 MRtrix3 中使用的 SH 基如下：

对应于基函数 的 SH 系数 在某个三维位置上的储存索引为：

举个例子，系数向量的第4个数对应的是， 时基函数的系数。

总的系数的个数取决于 ：

计算球形反卷积时需要计算响应函数（response function），由于对称性，响应函数可以仅使用它们的偶数阶 l、零相位 m=0系数来表示。

对于一个 DWI 图像所有数据进行球形反卷积计算，得到一个四维的球谐系数矩阵，就是 FOD。在 MRtrix3 和 dipy 中都有可视化的方法。

在 MRtrix3 中计算 FOD 的命令 (MSMT CSD)：

计算 response ：

dwi2response dhollander DWI.mif wm.txt gm.txt csf.txt

生成 FOD：

dwi2fod msmt_csd DWI.mif -mask mask.mif wm.txt wmfod.mif gm.txt gmfod.mif csf.txt csffod.mif

可视化

mrview DWI.mif -odf.load_sh wmfod.mif

参考：

https://mrtrix.readthedocs.io/en/latest/concepts/spherical_harmonics.html