线代--特征值与特征向量

2022-08-15 本文已影响0人倪桦

特征值和特征向量 也是方阵的一个属性，它们是把一个矩阵当作变换 作用来看的时候这个矩阵所拥有的一些 “特征”，这些“特征”由特征值和特征向量所反映。

对于一个变换矩阵 $A= \begin{bmatrix} 4&-2 \\ 1&1 \end{bmatrix}$ ，当左乘一个向量 $\vec u$ 的时候， $A \cdot \vec u =\vec u^{'}$ 表示把向量从一个位置转换到空间的另一个位置，这个过程从空间的基来理解的话则表示矩阵 $A$ 的所表示的空间的一组基 $(4,1) , (-2,1)$ 与标准基之间的基变换或是坐标系转换。

而在这个变换过程中，存在一些特殊的向量，如对于变换矩阵 $A= \begin{bmatrix} 4&-2 \\ 1&1 \end{bmatrix}$ 所代表的变换，存在向量 $\vec u = (2,2)$ ，该向量在矩阵 $A$ 的变换下 $A \cdot \vec u = \vec u' = (4,4)$ ， $\vec u'$ 与变换前的 $\vec u$ 相比，方向上未发生改变，仅仅只是对原向量 $\vec u$ 进行了缩放 $\vec u' = 2 \vec u$ :

特征值和特征向量的定义

对于在矩阵 $A$ 的变换下，向量变换后得到的结果向量方向并没有发生改变，只是原来向量的某一个常数 $k$ 倍，即
$A \cdot \vec u = \lambda \cdot \vec u$ 式中， $A$ 是转换矩阵， $\vec u$ 是被转换向量， $\lambda$ 是常数(可以取负数)。当常数 $\lambda$ 取负数的时候，意味着变换前后的两个向量方向相反，但是它们还是共线向量，也可以称为同向向量。

对于满足关系式 $A \cdot \vec u = \lambda \cdot \vec u \ \ \$ 的 $\lambda$ 和 $\vec u$ 则称:

$\color {red} \lambda$ 称为矩阵A的特征值 $\color {red} {(eigenvalue)}$

$\color {red} {\vec u}$ 称为矩阵A对应于 $\color {red} \lambda$ 的特征向量 $\color {red} {(eigenvector)}$

求解特征值和特征向量

假设变换矩阵为 $A= \begin{bmatrix} 4&-2 \\ 1&1 \end{bmatrix}$
求解变换矩阵 $A$ 的特征值和特征向量即求解方程 $A \vec u = \lambda \vec u$ ，这个方程涉及两个未知量 $\vec u$ 和 $\lambda$ :

首先，如果 $\vec u = O$ ，即 $\vec u$ 是一个零向量，则一定满足方程，这个零解是一个平凡解，意味着不管矩阵 $A$ 如何变化， $\vec u = O$ 永远是方程 $A \vec u = \lambda \vec u$ ，所以特征向量的零解没有意义，求解特征向量不考虑 $\color {red} {\small 零向量}$ 。
而对于求解的特征值，如果求解出一个 $\lambda = 0$ ，这个解不是一个平凡解， $\lambda = 0$ 意味着方程 $A \vec u = 0$ 是一个齐次线性系统,对于一个齐次线性系统只可能有唯一零解或无穷解，因为 $\vec u$ 不能取零向量，所以 $A \vec u = 0$ 一定有无穷解，那么意味着特征值 $\lambda = 0$ 反映出变换矩阵 $A$ 一定不可逆的特征 (矩阵 $A$ 可逆则 $A \vec u = 0$ 只有唯一零解) ，并不是任何一个矩阵都存在特征值 $\lambda = 0$ 。

进一步的解方程 $A \vec u = \lambda \vec u$

$A \vec u = \lambda \vec u \to A \vec u - \lambda \vec u =0$ ，这里涉及矩阵与常数的减法，引入单位矩阵 $I$ 处理 $A \vec u \cdot I = \lambda \vec u \cdot I$
$A \vec u - \lambda I \vec u = 0$ 变形得到 $(A - \lambda I) \cdot \vec u = 0$

step.1 变换矩阵 $A$ 的特征方程，解特征值

对于线性系统 $(A - \lambda I) \cdot \vec u = 0$ ，我们希望最后求解的特征向量 $\vec u$ 有非零解，因为零解是一个平凡解，无意义。因此对于系数矩阵 $(A - \lambda I)$ 要求是一个不可逆矩阵，矩阵可逆，意味着该系统只有唯一零解。根据行列式的内容可知如果矩阵不可逆意味着它的行列式的值为0，所以，转而求解 $\det (A - \lambda I)=0$ ，这个方程只含有一个未知量 $\lambda$ ，称为变换矩阵 $A$ 的特征方程：

示例:
$\det (A - \lambda I)= \begin{vmatrix} 4-\lambda & -2 \\1 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (4-\lambda)(1-\lambda) -(1\times-2) =\lambda^{2} -5\lambda +6$
$\det (A - \lambda I) = \lambda^{2} -5\lambda +6 = 0$
解的 $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 3$

step.2 解特征向量

求出了矩阵的特征值，就可以代入 $\lambda$ 到线性系统 $(A - \lambda I) \cdot \vec u = 0$ 进一步求解出特征向量 $\vec u$ ：

① 当 $\lambda_1 = 2$
$\ \ \$ 代入线性系统可得 $(A - 2I) \cdot \vec u = 0$ ，求解这个线性系统的非零解
$\ \ \$ 系数矩阵为 $(A - 2I) = \begin{bmatrix} 4-2 & -2 \\1 & 1-2 \end{bmatrix}$ ，执行高斯消元化为一般行最简形式
$\ \ \$ 方程变为 $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0&0 \end{bmatrix} \cdot \vec u = 0$

根据零空间的知识，这个方程的解 $\vec u$ 其实就是矩阵 $(A - 2I)$ 的零空间的内的向量，
由系数矩阵 $(A - 2I)$ 的行最简形式 $\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0&0 \end{bmatrix}$ 可知自由列有一列，那么它的零空间的基就只有一个可以写成 $\vec p =\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$
所以方程的解，也即变换矩阵 $A$ 的特征向量 $\vec u$ 就可以表示为 $\vec u = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot k$ ， $k$ 可以取任意非零常数

② 当 $\lambda_2 = 3$
$\ \ \$ 计算步骤同①
$\ \ \$ 系数矩阵高斯消元化为行最简形式，方程变为 $\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0&0 \end{bmatrix} \cdot \vec u = 0$
可解的系数矩阵 $(A - 3I)$ 的零空间的基为 $\vec p =\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ ，变化矩阵A对应与 $\lambda_2$ 的特征向量表示 $\vec u = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot k$ ， $k$ 可以取任意非零常数。