数据结构——线段树
2022-02-24 本文已影响0人
小波同学
一、概述
线段树是一种二叉搜索树，其存储的是一个区间的信息，每个结点以结构体的形式去存储，每个结构体包含三个元素：区间左端点、区间右端点、该区间要维护的信息（视实际情况而定），其基本思想是分治的思想。
其特点是：
- 每个节点的左孩子区间范围为 [l，mid]，右孩子为 [mid+1,r]
- 对于结点 k，左孩子结点为 2 * index + 1，右孩子为 2 * index + 2，符合完全二叉树的性质。
- 线段树不是完全二叉树。
- 线段树是平衡二叉树。
二、线段树
2.1 使用数组构建线段树
如下图所示数组A，以求和为例：根节点A[0-7]存放的就是A[0-3]节点和A[4-7]节点之和，下面的每个节点存放的值都是该节点对应左右孩子节点的和，这样就用数组构建出了一个线段树。
- 可以把线段树当成满二叉树进行处理。
- 对于有n个元素的区间，数组只需要4n的空间就可以完全存储整颗线段树，4n的空间会有部分浪费，最坏的情况可能会有接近2n的空间被浪费。
- 不考虑添加元素。
2.2 线段树区间查找
如下图所示, 线段树查找步骤如下:
- 1、在0-7的区间内查找2-5，左右子树都包含部分，所以在左侧查询2-3，右侧查询4-5。
- 2、继续在0-3的区间查找2-3，在4-7的区间查找4-5。
- 3、将查找到的2-3区间和4-5区间进行一次merge操作，得到的就是2-5的区间。
2.3 线段树更新
线段树更新的方法也很简单，更新对应位置的值之后，包含该位置的区间的值也都要进行更新。
三、线段树代码实现
3.1 线段树完整代码实现如下
/**
* @Author: huangyibo
* @Date: 2022/2/24 21:33
* @Description: 线段树
*/
public class SegmentTree<E> {
//线段树，底层数组实现
private E[] tree;
//原数组副本
private E[] data;
private Merger<E> merger;
public SegmentTree(E[] arr, Merger<E> merger){
this.merger = merger;
this.data = (E[])new Object[arr.length];
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
data[i] = arr[i];
}
// 对于有n个元素的区间, 使用数组实现线段树的话, 需要4n的空间来存储
this.tree = (E[])new Object[arr.length * 4];
//构建线段树
buildSegmentTree(0, 0, data.length - 1);
}
/**
* 在treeIndex的位置创建表示区间[left, right]的线段树
* @param treeIndex 根节点所在的索引
* @param left treeIndex对应的左端点
* @param right treeIndex对应的右端点
*/
private void buildSegmentTree(int treeIndex, int left, int right){
// 递归到底的情况
if (left == right){
//区间长度为1, 只有一个元素的时候
//此时节点存储的信息就是该节点本身
tree[treeIndex] = data[left];
return;
}
//treeIndex为根节点的左孩子节点索引
int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
//treeIndex为根节点的右孩子点索引
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
int mid = (left + right) >>> 1;
//以leftTreeIndex为根节点，创建表示区间[left, mid]的线段树
buildSegmentTree(leftTreeIndex, left, mid);
//以rightTreeIndex为根节点，创建表示区间[mid + 1, right]的线段树
buildSegmentTree(rightTreeIndex, mid + 1, right);
//具体的业务相关数据，综合左、右两个线段数据，得到其根节点的信息
//可以是、最大值、最小值、和、乘积等等
tree[treeIndex] = merger.merger(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
}
public int getSize(){
return data.length;
}
public E get(int index){
if(index < 0 || index >= data.length){
throw new IllegalArgumentException("index is illegal.");
}
return data[index];
}
/**
* 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的左孩子节点的索引
* @param index
* @return
*/
private int leftChild(int index){
return 2 * index + 1;
}
/**
* 返回完全二叉树的数组表示中，一个索引所表示的元素的右孩子节点的索引
* @param index
* @return
*/
private int rightChild(int index){
return 2 * index + 2;
}
/**
* 返回区间[queryL, queryR]的值
* @param queryL
* @param queryR
* @return
*/
public E query(int queryL, int queryR){
if(queryL < 0 || queryL >= data.length ||
queryR < 0 || queryR >= data.length || queryL > queryR){
throw new IllegalArgumentException("index is illegal.");
}
return query(0, 0, data.length - 1, queryL, queryR);
}
/**
* 在以treeIndex为根的线段树中[left, right]的范围里，搜索区间[queryL, queryR]的值
* @param treeIndex
* @param left
* @param right
* @param queryL
* @param queryR
* @return
*/
private E query(int treeIndex, int left, int right, int queryL, int queryR){
//如果查询区间值和treeIndex的左右区间值重合，直接返回
if(left == queryL && right == queryR){
return tree[treeIndex];
}
int mid = (left + right) >>> 1;
//treeIndex为根节点的左孩子节点索引
int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
//treeIndex为根节点的右孩子点索引
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
// 要查找的区间左边界大于mid时, 说明只需要到右子树进行查找即可
if(queryL >= mid + 1){
return query(rightTreeIndex, mid + 1, right, queryL, queryR);
}else if(queryR <= mid){
// 要查找的区间右边界小于等于mid时, 说明只需要到左子树进行查找即可
return query(leftTreeIndex, left, mid, queryL, queryR);
}
//queryL < mid < queryR 的情况, 需要对左右子树分别进行查找
E leftResult = query(leftTreeIndex, left, mid, queryL, mid);
E rightResult = query(rightTreeIndex, mid + 1, right, mid + 1, queryR);
//进行融合操作
return merger.merger(leftResult, rightResult);
}
/**
* 将index索引的值, 更新为e
* @param index
* @param e
*/
public void set(int index, E e){
if(index < 0 || index >= data.length){
throw new IllegalArgumentException("index is illegal.");
}
data[index] = e;
//在以treeIndex为根的线段树中[left, right]的范围里，更新index的值
set(0, 0, data.length - 1, index, e);
}
/**
* 在以treeIndex为根的线段树中[left, right]的范围里，更新index的值
* @param treeIndex
* @param left
* @param right
* @param index
* @param e
*/
private void set(int treeIndex, int left, int right, int index, E e){
// 递归终止条件
//如果查询区间值和treeIndex的左右区间值重合，直接更新元素e
if (left == right) {
tree[treeIndex] = e;
return;
}
int mid = (left + right) >>> 1;
//treeIndex为根节点的左孩子节点索引
int leftTreeIndex = leftChild(treeIndex);
//treeIndex为根节点的右孩子点索引
int rightTreeIndex = rightChild(treeIndex);
// 要查找的index大于mid时, 说明只需要到右子树进行查找即可
if(index >= mid + 1){
set(rightTreeIndex, mid + 1, right, index, e);
}else { //index <= mid
// 要查找的index小于等于mid时, 说明只需要到左子树进行查找即可
set(leftTreeIndex, left, mid, index, e);
}
//更新完值之后，对更新相关的每一层的根节点重新进行融合操作
tree[treeIndex] = merger.merger(tree[leftTreeIndex], tree[rightTreeIndex]);
}
@Override
public String toString() {
StringBuilder res = new StringBuilder();
res.append("[");
for (int i = 0; i < tree.length; i++) {
if(tree[i] != null){
res.append(tree[i]);
}else {
res.append("null");
}
if(i != tree.length - 1){
res.append(", ");
}
}
res.append("]");
return res.toString();
}
}
3.2 使用的merger融合器代码如下 :
/**
* @Author: huangyibo
* @Date: 2022/2/24 22:08
* @Description: 对元素的融合操作
* 用于将两个元素融合成一个元素, 配合线段树的合并操作使用
* @FunctionalInterface这个注解是jdk8中函数式接口声明, 加不加不影响
*/
@FunctionalInterface
public interface Merger<E> {
E merger(E a, E b);
}
3.3 简单测试的代码如下
public class Test {
public static void main(String[] args) {
Integer[] nums = {-2, 0, 3, -5, 2, -1};
SegmentTree<Integer> segmentTree = new SegmentTree<>(nums, (a, b) -> a + b);
System.out.println(segmentTree);
System.out.println(segmentTree.query(0,2));
System.out.println(segmentTree.query(2,5));
System.out.println(segmentTree.query(1,4));
System.out.println(segmentTree.query(0,5));
}
}
参考：
https://blog.csdn.net/love905661433/article/details/83006902
