一道小压轴题的解题思路分析

上周数学讲到了解直角三角形，今天遇上这样一道题。

这是一道填空题，小压轴题，答案肯定不止一个。

题目没有给出三角形，需要学生自己画图完成。

如何准确的画出图形，是解题的第一步。有图有真相，如果图画的不对，想正确的解出问题对于这帮逻辑思维能力不足的学生就难了。所以画图是这个问题的第一个思维节点。

如果先随意画出一个ΔABC，再去找符合条件的点D（需要满足两个条件），有点难。

怎么办呢？我们不妨反其道而行。由AC⊥CD可知ΔACD是一个以点C为直角顶点的直角三角形，所以先画出这个三角形。

然后再找点B。根据相对论，“点D在直线AB上”相对于“点B在直线AD上”，不难知道这样的点B有三种情况：在线段AD上，在射线AD上，在射线DA上。

（i）在线段AD上时，因为AB=3BD，所以AD=4BD。

图画好后，怎么解决问题呢？

首先考虑：已知tan∠DCB怎么用？必须放在直角三角形中利用定义转成边之比。如何构造直角三角形？做垂直。这些问题学生比较容易想到，关键问题是过哪个点？做谁的垂线？这是本题中的第二个关键的思维节点。

先解决垂直于谁的问题，无非是BC和CD。有学生回答：CD。我问为什么？好多回答不上来。只有一个说：因为已经有AC⊥CD，这样就产生了平行线，多了条件可以用。非常好！辅助线作法不是盲目的，必有原因。

然后解决过哪个点的问题。是点B还是点D？当然，这个题过哪个点都能解决问题，就像成功的路不止一条，但是，我们每个人都想走捷径。所以，我们要考虑我们的目的地在哪，直奔目的地才能最近，七绕八绕不可取！要求BC，所以就过B点。

有BE∥AC得ΔBED∽ΔACD，可以求出BE=√5/2。这是第三个思维节点。

第四个思维节点放在了RtΔCBE中，由正切值可以知道这个三角形的三边比是1:3:√10，从而直接得出BC=5√2/2。

如果过点D作垂线，会怎么样呢？可以自己解答一下，比较一下异同。

（ii）点B在射线AD上时。

图形

对于这样的小压轴题，第一种情况做出来后，一般可以运用类比思想很快得出另一种情况的答案。

敲黑板：类比思想！！就是照搬！照搬第一问的辅助线作法，照搬第一问的两个相似三角形，照搬第一问的1:3:√10的直角三角形。

照这样解决问题少走弯路，快速直接，省时省力。很多中考问题的类比探究题都是这么解决问题的，这也是命题人想让你做的方法。

如果不行，再换思路。

方法给你了，是不是想试一试呢？

拿起笔，赶紧试试吧。看你对“照搬”理解得是否透彻！

易得BE=√5，BC=5√2。

你做对了吗？

（iii）点B在射线DA上。因为AB长BD短，所以这种情况不存在。

于是得出BC=5√2或者5√2/2。

再用类比思想（即照搬）来解决下面这个问题吧。