线性代数的本质（2）

2019-06-01 本文已影响254人 To_QT

1. 点积究竟是什么？

$\overrightarrow{u}$ 与 $\overrightarrow{v}$ 相乘，几何意义是： $\overrightarrow{u}$ 在 $\overrightarrow{v}$ 上投影的长度 $\overrightarrow{v}$ 的长度。

图1. 点积的集合意义

当两个向量方向大致相同时，点积结果为正
当两个向量方向垂直，点积结果为0
当两个向量方向大致相反，点积结果为负

点积（对应坐标相乘）与向量之间投影有毛线关系？

$\begin {bmatrix} 1 & 2 \end {bmatrix}$ 的直观理解：二维平面中， $\overrightarrow{i}$ 和 $\overrightarrow{j}$ 被变换之后，可以用一维中的一条线来表示。：在数轴上表示为

此时，我们把这条直线放在二维平面中，然后找一个向量，与这条直线完全重合，这个时候，二维空间中的基向量，在上的投影 = 在基向量上的投影。

注意红框标注的地方

在与向量 $\begin {bmatrix} 3 \\ 4 \end {bmatrix}$ 相乘后，

注意：不管任何一个二维到一维的线性变换，都能够在二维空间中找到一个与之对应的向量。这个向量的目的：是把2 * 1维的向量（ $\overrightarrow{v}$ ），都变成一个数。

2. 叉积究竟是什么？

前面提到过，行列式可以度量两个向量面积增大或减少的比例（跟基向量相比）。两个三维向量 $\overrightarrow{v}$ 和 $\overrightarrow{w}$ 生成一个新的三维向量 $\overrightarrow{p}$ 。 $\overrightarrow{p}$ 的长度，就是 $\overrightarrow{v}$ 和 $\overrightarrow{w}$ 围成平行四边形的面积，方向需要根据右手定则来确定。

叉积的运算法则

image.png

3. 基变换？

可以这么看，同样在一个空间维度中（在同一个地球上），不同的基就相当于说不同语言的人（中文、英语）有一天，Bill想认识一个女孩，于是问你该怎么办。

目标向量左乘基变换矩阵（他的目的：“我想约她，我要怎么办”：翻译成中文===用我们的语言描述他的基向量，此时的结果是表达同样的意思，但是是用我们的语言描述的）
第一步结果左乘线性变换矩阵（你了解后：提供建议）
第二步结果左乘基变换矩阵的逆（你把你的建议翻译成英文）

4. 特征值与特征向量

前面提到过，空间中的向量都可以通过基向量进行变换、裁剪得到，那么，一个向量在变换和裁剪的过程中，基向量所张成的空间其实或多或少都发生了改变，然而，有一些很皮的向量，仍然留在他们原来张成的空间中，这些很皮的向量，就称作为：特征向量，每个特征向量都有一个所属的值，被称为“特征值”。

特征值的大白话解释：其实就是**衡量特征向量在变换中拉伸或者压缩比例的因子。

在三维空间中，如果向量张成的空间（一个立体物体），在变换过程中按照某个值旋转了，那么，旋转的轴就是特征向量。

特征向量与特征值的计算公式

$\begin{equation} \begin{aligned} A·\overrightarrow{v} &= \lambda·\overrightarrow{v} \\ &= (\lambda·I)·\overrightarrow{v} \\ 0 &=(A- \lambda·I)·\overrightarrow{v} \end{aligned} \end{equation}$
当 $\overrightarrow{v}$ 为零向量时，本身没有任何帮助，因此，我们需要当 $\overrightarrow{v}$ 为非零向量时，使 $(A- \lambda·I)$ 与之相乘为 $\overrightarrow{0}$ 。即，要求 $(A- \lambda·I)$ 能够对 $\overrightarrow{v}$ 实行降维，若要降维，则需要其对应的行列式为0

需要注意的一点是：有几个特征值，不代表有几个特征向量。 $\begin {bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end {bmatrix}$ 特征值为1，特征向量对应一条。但是，若 $\begin {bmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end {bmatrix}$ 特征值为2，但是特征向量却不止一条，原本空间中所有的向量都是其特征向量。

对角矩阵

如果你足够幸运，你的矩阵为对角矩阵，like this： $\begin {bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end {bmatrix}$ 。那么，对角线上的每一个元素都是特征值，为什么？因为在原本的空间中，基向量本身就是特征向量，你只是将原本的坐标轴进行了拉伸或者压缩，并没有进行剪切，因此，基向量还是原来的基向量。