Chapter2—随机变量及其分布

2019-08-11  本文已影响0人  crishawy

1. 随机变量及其分布函数

随机变量的定义：

设S=\{e\}是随机试验E的样本空间。如果对于每一个e\in S，都有一个实数X(e)与之对应，得到一个定义在S上的实值单值函数X(e)，称X(e)为定义在S上的一个随机变量。

随机变量的分布函数F(x)：

2. 离散型随机变量分布

设X是离散型随机变量，X的所有可能取值为x_{1},x_{2},\cdots,x_{n},则
P(X=x_{k})=p_{k},k=1,2,\cdots.为随机变量X的概率分布。

常见的离散型随机变量分布：

  • 0-1分布(两点分布)：若随机变量X的所有可能取值为0和1，且它的分布律为
    P(x=k)=p^{k}(1-p)^{1-k},k=0,1则X服从参数为p的(0-1)分布

  • 二项分布：若随机变量的所有取值为0,1,2,\cdots,n，且它的分布律为
    P(x=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k},k=0,1,\cdots,n则称X服从二项分布，记为X\sim B(n,p)
    二项分布的重要性质：泊松定理，设X_{n}\sim B(n,p_{n})，且\lim_{n\rightarrow \infty}np_{n}=\lambda，其中\lambda>0，对于任意一个非负的常数有
    \lim_{n\rightarrow\infty}P(X_{n}=k)=\lim_{n\rightarrow\infty}C_{n}^{k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k! }

  • 泊松分布：若随机变量X的所有可能取值一切为非负整数，且它的分布律为
    P(x=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}其中,\lambda > 0，则称X服从参数为\lambda的泊松分布，记为X\sim \pi(\lambda)。
    性质：设X\sim \pi(\lambda)，则当k=[\lambda]时，P(x=k)取得最大值。

3. 连续性随机变量分布

概率密度函数f(x)：

重要性质：设X为连续性随机变量，则对任意的实数x_{0}都有P(X=x_{0})=0

常见的连续性随机变量的分布：

其中指数分布的概率密度函数也可以写为f(x)=\begin{cases}\theta e^{-\theta x}, &x>0\\ 0, &x\le0 \end{cases}

接下来，我们重点来讨论标准正态分布：

  • 性质1：设X\sim N(0,1)，则其概率密度函数和分布函数为
    \begin{split}\varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^{2}}{2}},&- \infty<x<\infty,\\ \phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt,&- \infty<x<\infty \end{split}则\phi(x)有如下性质：
    \phi(-x)=1-\phi(x)
  • 性质2：若X\sim N(\mu,\sigma)，则Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)

4. 随机变量函数的分布

离散型随机变量函数的分布：打表，将相同的取值的概率相加即可。

连续性随机变量函数的分布：先求分布函数，再求概率密度函数

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