以一道“比大小”问题为例帮助学生理解“三会”（数学眼光、数学思维、数学语言）

乌鲁木齐市2020年第一次质量监测第10题

例谈“数学眼光”、“数学思维”和“数学语言”

一、用数学的眼光看问题

数学抽象

可以将a,b,c看成三个函数，现在要比较在给定区间上，它们函数值的大小。

直观想象

如果你能想出这三个函数的图像，那么你就能得到它们的大小关系。
当然了你想不出这三个函数的图像。不光你想不出，我也想不出。
下面的图只是说明，对于函数绘图软件来说，你给它函数解析式，它就能给你画出函数图像，这样看来软件的开发者给软件赋予了超强的数学眼光。给软件数学抽象函数，它就能直观显示图像。虽然我们不能像函数绘图软件一样具有超强的数学眼光，但是我们可以锻炼这方面的能力。

例谈“数学眼光”、“数学思维”和“数学语言”

用数学思维思考问题

逻辑推理

逻辑推理包括合情推理和演绎推理。
合情推理得出的结果叫做数学猜想。合情推理有两种方法：归纳猜想，类比猜想。

归纳猜想

特值法

取特殊值30度是个不错的选择哦！你试试，做起来是不是比较顺手，跟你平常做的比大小没什么区别。

逻辑推理

演绎推理

题目中是三个函数比大小，但是大小关系只是四个之一是确定的，那么代入任何一个值的到的大小关系就是函数的大小关系。所以特值法这种归纳猜想得到的就是正确答案，这也从一个侧面说明了选择题的一个特点：答案也是题目的一部分。

数学语言

数学建模

采用特值法之后，你要比较三个数字的大小关系，先比较前两个发现都是幂的形式，抽象到幂的模型，底数都是二分之一，写个底数二分之一，发现指数分别是两个数，在变化，记作x，结果也在变记作y，抽象出指数函数模型 ，通过指数函数的性质（单调性）比较出二者大小关系。如法炮制第一个和第三个的大小关系。
以上过程是建立数学模型，借助数学模型解决问题（比大小）。

数据分析

如果问你，这三个数的中位数是什么，算是进行数据分析。

通过以上叙述，我想说明：我们用应该用数学的眼光来看问题，应该用数学的思维来思考问题，应该用数学的语言来描述问题。通过数学眼光，我们能够大致明白从什么角度来思考，不一定能够解决问题。通过数学思维，我们可以将问题转化为我们会解决的问题，或者相对容易解决的问题，通过数学语言我们就可以逐步解决问题。三会其实不是相互独立的，往往你中有我，我中有你，为了不产生逻辑的混乱，我没有仔细叙述。