傅里叶变换（上）

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傅里叶变换

傅里叶变换的重要性

我们现在机器学习上音频和图像上处理上都会用到傅里叶变换，今天我们在 app 中用到声音处理和美图都是基于傅里叶变换的。所以傅里叶变换还是比较重要的，和贴近生活的。这是一些额外的知识，不了解也没有什么关系，我们在 SLAM 有时候只要会用公式就行，也没有必要探究其背后的原理。

什么是傅里叶变换

我们先把最重要的内容说出来，也就是什么是傅里叶变换。将任意周期函数拆解为一系列一个正（余）函数的和。好有了这样一个目标我们看看傅里叶变换是怎么推导。

什么是变换

说到变换，我们先来说一说什么是变换，变换很好理解也就是不同的表达，下图中在坐标系(空间)的两个点，我们可以用这样图形方式表示

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也可以用向量方式表示为A(2,1)和B(2,1),这就是变换，大家看了可能感觉无趣，其实是有好处，不同表达有时候利于我们计算

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例如我们要计算这样一个平行四边形对角线，将图形问题转换为向量计算就比较容易。

时域和频域

我们生活的世界都以时间为序列，我们成长，听到的音乐、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法被称为时域分析。不过我们可以从另一个角度来观察世界，例如我们不是听音乐，而是看乐谱，可能会发现世界是永恒不变的，这个静止的世界就叫做频域

那么我们可以将时域上观察的函数，换一个角度从时域上按频率不同来将函数分解为若干周期函数，这就是从图形上对傅里叶变换进行解释。

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图形上我们了解什么是傅里叶变换，现在再从公式来推导一下傅里叶变换
$f(x) = C + \sum_{n=1}^{\infty}(a_n \cos(\frac{2 \pi n}{T}x) + b_n \sin (\frac{2 \pi n}{T} x)) , c \in \mathbb{R}$

这样一个公式就很好理解，首先我看常数项 C

g(x) = C 一定是一个周期函数，这个应该没有问题
用于调节函数值

我们知道任何一个函数都可以写成
$f(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2}$
这样形式，其中 $\frac{f(x) + f(-x)}{2}$ 是偶函数相当于 cosx 而 $\frac{f(x) - f(-x)}{2}$ 相当于奇函数(sinx)

傅里叶变换（上）