高考数学各省卷：解析几何大题

2022-11-23 本文已影响0人易水樵

2016年理数北京卷题19

分值：14分

已知椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} =1(a\gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $A(a,0),B(0,b),O(0,0)$ , $\triangle OAB$ 的面积为 $1$ .

（I）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设 $P$ 是椭圆 $C$ 上一点，直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$ ，直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$ .

求证： $|AN| \cdot |BM|$ 为定值.

2016年理数天津卷题19

分值：14分

设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{3} =1(a\gt \sqrt{3})$ 的右焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ .

已知 $\dfrac{1}{|OF|} + \dfrac{1}{|OA|} =\dfrac{3e}{|FA|}$ ，其中 $O$ 为原点，e为椭圆的离心率.

（I）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆交于点 $B$ （ $B$ 不在 $x$ 轴上），垂直于 $l$ 的直线与 $l$ 交于点 $M$ ，与 $y$ 轴交于点 $H$ . $BF\perp HF$ ，且 $\angle MOA \leqslant \angle MAO$ ，求直线 $l$ 的斜率的取值范围.

2016年理数上海卷题21

分值：14分（第1小题6分，第2小题8分）

双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1、F_2$ ，直线 $l$ 过 $F_2$ 且与双曲线交于 $A、B$ 两点.

（1）若 $1$ 的倾斜角为 $\dfrac{\pi}{2}$ ， $\triangle F_1AB$ 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

（2）设 $b=\sqrt{3}$ . 若 $l$ 的斜率存在，且 $(\overrightarrow{F_1A} + \overrightarrow{F_1B} ) \cdot \overrightarrow{AB} =0$ ，求 $l$ 的斜率.

2016年理数江苏卷题18

分值：16分

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知以 $M$ 为圆心的圆 $M:x^2+y^2-12x-14y+60=0$ 及其上一点 $A(2,4)$ .

（1）设圆 $N$ 与 $x$ 轴相切，与圆 $M$ 外切，且圆心 $N$ 在直线 $x=6$ 上，求圆 $N$ 的标准方程；

（2）设平行于 $OA$ 的直线 $l$ 与圆 $M$ 相交于 $B,C$ 两点，且 $BC=OA$ ，求直线 $l$ 的方程；

（3）设点 $T(t,0)$ 满足：存在圆 $M$ 上的两点 $P$ 和 $Q$ ，使得 $\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ}$ ，求实数 $t$ 的取值范围.

2016年理数江苏卷题18

2016年理数浙江卷题19

分值：15分

如图，设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+y^2 =1(a\gt 1)$ .
（I）求直线 $y=kx+1$ 被椭圆截得的线段长（用 $a,k$ 表示）
（Ⅱ）若任意以点 $A(0,1)$ 为圆心的圆与椭圆至多有 $3$ 个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

2016年理数山东卷题21

分值：14分

平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} =1(a\gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ，抛物线 $E:x^2=2y$ 的焦点 $F$ 是 $C$ 的一个顶点.

（I）求椭圆 $C$ 的方程；

（Ⅱ）设 $P$ 是 $E$ 上的动点，且位于第一象限， $E$ 在点 $P$ 处的切线 $l$ 与 $C$ 交于不同的两点 $A,B$ ，线段 $AB$ 的中点为 $D$ . 直线 $OD$ 与过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交于点 $M$ .

（i）求证：点 $M$ 在定直线上；

（ii）直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $G$ ，记 $\triangle PEG$ 的面积为 $S_1$ ， $\triangle PDM$ 的面积为 $S_2$ ，求 $\dfrac{S_1}{S_2}$ 的最大值及取得最大值时点 $P$ 的坐标.

2016年理数山东卷题21

2016年理数四川卷题20

分值：13分

已知椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2} =1(a\gt b \gt 0)$ 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线 $l:y=-x+3$ 与椭圆 $E$ 有且只有一个公共点 $T$ .

（I）求椭圆 $E$ 的方程及点 $T$ 的坐标；

（Ⅱ）设 $O$ 是坐标原点，直线 $l'$ 平行于 $OT$ ，与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A,B$ ，且与直线 $l$ 交于点 $P$ .

证明：存在常数 $\lambda$ ，使得 $|PT|^2=\lambda |PA|\cdot |PB|$ ，并求 $\lambda$ 的值.

2017年北京卷题18

分值：18分

已知抛物线 $C:y^2=2px$ 过点 $P(1,1)$ . 过点 $(0,\dfrac{1}{2})$ 作直线 $l$ 与抛物线 $C$ 交于不同的两点 $M,N$ ，过点 $M$ 作 $x$ 轴的垂线分别与直线 $OP,ON$ 交于点 $A,B$ ，其中 $O$ 为原点.

（I）求抛物线 $C$ 的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证： $A$ 为线段 $BM$ 的中点.

2017年上海卷题18

分值：16分（第1小题4分，第2小时5分，第3小题7分）

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，已知椭圆 $\Gamma:\dfrac{x^2}{4}+y^2=1$ , $A$ 为 $\Gamma$ 的上顶点， $P$ 为 $\Gamma$ 上异于上、下顶点的动点. $M$ 为 $x$ 正半轴上的动点.
（1）若 $P$ 在第一象限，且 $|OP|=\sqrt{2}$ ，求 $P$ 的坐标；
（2）设 $P(\dfrac{8}{5},\dfrac{3}{5})$ . 若以 $A、P、M$ 为顶点的三角形是直角三角形，求 $M$ 的横坐标；
（3）若 $|MA|=|MP|$ ，直线 $AQ$ 与 $\Gamma$ 交于另一点 $C$ ，且 $\overrightarrow{AQ}=2 \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{PQ} = 4 \overrightarrow{PM}$ , 求直线 $AQ$ 的方程.

2017年天津卷题19

分值：14分

设椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1 (a\gt b \gt 0)$ 的左焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ，离心率为 $\dfrac{1}{2}$ . 已知 $A$ 是抛物线 $y^2=2px(p \gt 0)$ 的焦点， $F$ 到抛物线的准线 $l$ 的距离为 $\dfrac{1}{2}$ .

（Ⅰ）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（Ⅱ）设 $l$ 上两点 $P,Q$ 关于 $x$ 轴对称，直线 $AP$ 与椭圆相交于点 $B$ （ $B$ 异于点 $A$ ），直线 $BQ$ 与 $x$ 轴相交于点 $D$ . 若 $\triangle APD$ 的面积为 $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$ ，求直线 $AP$ 的方程.

2017年江苏卷题17

分值：14分

如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a \gt b \gt 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$ ，离心率为 $\dfrac{1}{2}$ ，两准线之间的距离为 $8$ . 点 $P$ 在椭圆 $E$ 上，且位于第一象限，过点 $F_1$ 作直线 $PF_1$ 的垂线 $l_1$ ，过点 $F_2$ 作直线 $PF_2$ 的垂线 $l_2$ .

（1）求椭圆 $E$ 的标准方程；
（2）若直线 $l_1,l_2$ 的交点 $Q$ 在椭圆 $E$ 上，求点 $P$ 的坐标.

2017年江苏卷题17

2017年浙江卷题21

分值：15分

如图，已知抛物线 $x^2=y$ , 点 $A(1\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}),B(\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4})$ , 抛物线上的点 $P(x,y)(-\dfrac{1}{2} \lt x \lt \dfrac{3}{2})$ . 过点 $B$ 作直线 $AP$ 的垂线，垂足为 $Q$ .

（I）求直线 $AP$ 斜率的取值范围；

（Ⅱ）求 $|PA| \cdot |PQ|$ 的最大值.

2017年浙江卷题21

2017年山东卷题21

分值：14分

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{x^2}{b^2} = 1(a\gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ ，焦距为 $2$ .
（I）求椭圆 $E$ 的方程；
（Ⅱ）如图，动直线 $l:y=k_1x -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ 交椭圆 $E$ 于 $A,B$ 两点， $C$ 是椭圆 $E$ 上一点，直线 $OC$ 的斜率为 $k_2$ ，且 $k_1k_2=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ ， $M$ 是线段 $OC$ 延长线上一点，且 $|MC|:|AB|=2:3$ ， $\odot M$ 的半径为 $|MC|$ ， $OS,OT$ 是 $\odot M$ 的两条切线，切点分别为 $S,T$ . 求 $\angle SOT$ 的最大值，并求取得最大值时直线 $l$ 的斜率.

2017年山东卷题21

2018年理数北京卷题19

分值：14分

已知抛物线 $C:y^2=2px$ 经过点 $P(1,2)$ . 过点 $Q(0,1)$ 的直线 $l$ 与抛物线 $C$ 有两个不同的交点 $A,B$ , 且直线 $PA$ 交 $y$ 轴于 $M$ ，直线 $PB$ 交 $y$ 轴于 $N$ .

（I）求直线 $l$ 的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设 $O$ 为原点， $\overrightarrow{QM} =\lambda \overrightarrow{QO},\; \overrightarrow{QN} = \mu \overrightarrow{QO}$ ，求证 $\dfrac{1}{\lambda} + \dfrac{1}{\mu}$ 为定值.

2018年理数天津卷题19

分值：14分

设椭圆 $\dfrac{y^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} =1(a\gt b \gt 0)$ 的左焦点为 $F$ ，上顶点为 $B$ . 已知椭圆的离心率为 $\dfrac{5}{3}$ ，点 $A$ 的坐标为 $(b,0)$ , 且 $|FB|\cdot|AB|=6\sqrt{2}$ .