数学分析理论基础15：导数的概念

2019-01-24 本文已影响35人溺于恐

导数的概念

导数的定义

定义：设函数 $y=f(x)$ 在 $U(x_0)$ 有定义,若极限 $\lim\limits_{x\to x_0}{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}$ 存在,则称函数f在点 $x_0$ 处可导,并称该极限位函数f在点 $x_0$ 处的导数,记作 $f'(x_0)$

定义：令 $x=x_0+\Delta x$ , $\Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$ ,则 $f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{\Delta y\over \Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\over x-x_0}$

注：

1.导数为函数增量与自变量增量之比的极限,这个增量比称为函数关于自变量的平均变化率(差商),导数 $f'(x_0)$ 为f在 $x_0$ 处关于x的变化率

2.若增量比的极限不存在,则称f在点 $x_0$ 处不可导

有限增量公式

设f(x)在 $x_0$ 可导,则 $\varepsilon={\Delta y\over \Delta x}-f'(x_0)$ 是当 $\Delta x\to 0$ 时的无穷小量,于是 $\varepsilon\cdot \Delta x=o(\Delta x)$ ,即 $\Delta y=f'(x_0)\Delta x+o(\Delta x)$ ,称为f(x)在点 $x_0$ 的有限增量公式

注：公式对 $\Delta x=0$ 依然成立

定理：若函数f在点 $x_0$ 可导,则f在点 $x_0$ 连续

注：可导必连续,连续未必可导

例：证明函数 $f(x)=x^2D(x)$ 仅在点 $x_0=0$ 处可导,其中 $D(x)$ 为Dirichlet函数

证：

$x_0\neq 0时,由归结原则$

$f(x)在x=x_0处不连续$

$\therefore f(x)在x=x_0处不可导$

$当x_0=0时,$

$\because D(x)为有界函数$

$\therefore f'(0)=\lim\limits_{x\to 0}{f(x)-f(0)\over x-0}=\lim\limits_{x\to 0}xD(x)=0$

$\therefore f(x)仅在x_0=0处可导$

单侧导数

定义：设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某右邻域 $[x_0,x_0+\delta)$ 上有定义,若右极限 $\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}{\Delta y\over \Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0^+}{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\over \Delta x}(0\lt \Delta x\lt \delta)$ 存在,则称该极限值为f在点 $x_0$ 的右导数,记作 $f'_+(x_0)$

类似定义左导数 $f'_-(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0^-}{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\over \Delta x}$

右导数和左导数统称为单侧导数

定理：若函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域上有定义,则 $f'(x_0)$ 存在 $\Leftrightarrow$$f'_+(x_0)$ 与 $f'_-(x_0)$ 都存在且 $f'+(x_0)=f'_-(x_0)$

导函数

定义：若函数在区间I上每一点都可导(对区间端点,仅考虑相应的单侧导数),则称f为I上的可导函数,此时对每个 $x\in I$ ,都有f的一个导数 $f'(x)$ (或单侧导数)与之对应,这样就定义了一个在I上的函数,称为f在I上的导函数,简称导数,记作 $f',y'或{dy\over dx}$

即 $f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{f(x+\Delta x)-f(x)\over \Delta x},x\in I$

注：

1.物理学中导数y'也常用牛顿记号 $\dot{y}$

2. $f'(x_0)$ 有时也写作 $y'|_{x=x_0}$ 或 ${dy\over dx}|_{x=x_0}$

例：证明(sinx)'=cosx

证：

${sin(x+\Delta x)-sinx\over \Delta x}={2sin{\Delta x\over 2}cos(x+{\Delta x\over 2})\over \Delta x}$

$={sin{\Delta x\over 2}\over {\Delta x\over 2}}cos(x+{\Delta x\over 2})$

$由cosx是(-\infty,+\infty)上的连续函数$

$\therefore (sinx)'=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{sin{\Delta x\over 2}\over {\Delta x\over 2}}cos(x+{\Delta x\over 2})$

$=cosx$

例：证明 $(log_ax)'={1\over x}log_ae(a\gt 0,a\neq 1,x\gt 0)$ ,特别 $(lnx)'={1\over x}$

证：

${log_a(x+\Delta x)-log_ax\over \Delta x}={1\over \Delta x}log_a(1+{\Delta x\over x})$

$={1\over x}log_a(1+{\Delta x\over x})^{x\over \Delta x}$

$\therefore (log_ax)'=\lim\limits_{\Delta x\to 0}{1\over x}log_a(1+{\Delta x\over x})^{x\over \Delta x}$

$={1\over x}log_ae$

$若a=e,则(lnx)'={1\over x}$

导数的几何意义

曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的切线方程 $y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$

函数f在点 $x_0$ 的导数 $f'(x_0)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处的切线斜率

$\alpha$ 表示切线与x轴正向的夹角,则 $f'(x_0)=tan\alpha$

例：求曲线 $y=x^3$ 在点 $P(x_0,y_0)$ 处的切线方程与法线方程

解：

${\Delta y\over \Delta x}=3x_0^2+3x_0\Delta x+\Delta x^2$

$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}(3x_0^2+3x_0\Delta x+\Delta x^2)=3x_0^2$

$曲线y=x^3在点P的切线方程为$

$y-y_0=3x_0^2(x-x_0)$

$若x_0\neq 0法线方程为y-y_0=-{1\over 3x_0^2}(x-x_0)$

$若x_0=0,则为x=0$

注：对曲线 $y=x^3$ ,可将它在点 $P(x_0,y_0)$ 处的切线斜率 $f'(x_0)$ 改写成如下形式：

$f'(x_0)=3x_0^2={x_0^3\over ({x_0\over 3})}={y_0\over ({x_0\over 3})}$
因此为了作过点P的切线,可对x轴上从原点O到点 $x_0$ 的线段三等分,取靠近 $x_0$ 的分点Q,则直线PQ即为所求切线

极值

定义：若函数f在 $U(x_0)$ 上 $\forall x\in U(x_0)$ ,有 $f(x_0)\ge f(x)(f(x_0)\le f(x))$ ,则称函数f在点 $x_0$ 取得极大(小)值,称点 $x_0$ 为极大(小)值点

极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点

例：证明：若 $f'_+(x_0)\gt 0$ ,则 $\exists \delta\gt 0,\forall x\in (x_0,x_0+\delta)$ ,有 $f(x_0)\lt f(x)$

证：

$\because f'_+(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0^+}{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}\gt 0$

$由保号性$

$\exists \delta\gt 0,\forall x\in (x_0,x_0+\delta)$

${f(x)-f(x_0)\over x-x_0}\gt 0$

$\therefore 0\lt x-x_0\lt \delta时,f(x_0)\lt f(x)成立$

注：若 $f'(x_0)$ 存在且不为零,则 $x_0$ 不是f(x)的极值点

费马定理

定理：设函数f在 $U(x_0)$ 上有定义,且在点 $x_0$ 可导,若点 $x_0$ 为f的极值点,则 $f'(x_0)=0$

几何意义：若函数 $y=f(x)$ 在极值点 $x=x_0$ 可导,则在该点的切线平行于x轴

称满足方程 $f'(x)=0$ 的点为稳定点

例：对函数 $f(x)=x^3$ ,点x=0是稳定点,但不是极值点