复变函数习题答案

2020-05-07 本文已影响0人酱博士的成长日记

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写出复数的模长、辐角、辐角主值、以及它的三角形式和指数形式。
写出复数的模长、辐角、辐角主值、以及它的三角形式和指数形式。
1. 模长： $r=|z|=\sqrt {z\bar z}=\sqrt {(-2)^2+2\sqrt {3}^2}=4$
  辐角： $Argz=arctan\frac{2\sqrt {3}}{-2}+2k\pi=\frac{\pi}{3}+2k\pi$ $(k\in Z)$
  主值： $argz=arctan\frac{2\sqrt3}{2}=\frac{\pi}{3}$
  三角： $z=4(cos\frac{\pi}{3}+\imath sin\frac{\pi}{3})$
  指数： $z=re^{\imath\theta}=4e^{\imath \frac{\pi}{3}}$
2. 模长： $|z|=z\bar z=\sqrt {2^2+2\sqrt {3}^2}=4$
  辐角： $Argz=arctan\frac{2\sqrt {3}}{-2}+2k\pi=-\frac{\pi}{3}+2k\pi$ $(k\in Z)$
  主值： $argz=arctan\frac{2\sqrt3}{-2}+\pi=\frac{2\pi}{3}$
  三角： $z=4(cos\frac{2\pi}{3}+\imath sin\frac{2\pi}{3})$
  指数： $z=re^{\imath\theta}=4e^{\imath \frac{2\pi}{3}}$
,

共有n个不同的取值
1. 求复数方根 $z=\sqrt[3]{8}$
  $argz=arctan\frac{y}{x} =arctan\frac{0}{8}=0$
  $r=\sqrt{z\bar z}=8$
  $w=8^\frac{1}{3}[cos\frac{1}{3}(2k\pi)+\imath sin\frac{1}{n}(2k\pi)](k=0,1,2,\cdots,n-1)$
  共有3个复数根
  $w=2[cos0+\imath sin0](k=0)$
  $w=2[cos\frac{1}{3}(2\pi)+\imath sin\frac{1}{n}(2\pi)](k=1)$
  $w=2[cos\frac{1}{3}(4\pi)+\imath sin\frac{1}{n}(4\pi)](k=2)$
2. 求复数方根 $z=\sqrt[3]{-\imath}$
  $argz=-\frac{\pi}{2},r=1$
  $w=cos(-\frac{\pi}{2}+2k\pi)+\imath sin(-\frac{\pi}{2}+2k\pi)(k=0,1,2)$
  有3个复根
  $w=cos\frac{1}{3}(-\frac{\pi}{2})+\imath sin\frac{1}{3}(-\frac{\pi}{2})(k=0)$
  $w=cos\frac{1}{3}(-\frac{\pi}{2}+2\pi)+\imath sin\frac{1}{3}(-\frac{\pi}{2}+2\pi)(k=1)$
  $w=cos\frac{1}{3}(-\frac{\pi}{2}+4\pi)+\imath sin\frac{1}{3}(-\frac{\pi}{2}+4\pi)(k=2)
判断函数 $f(z)=x^2+2\imath(y+x)$ 何处可导?何处解析?
判断函数 $f(z)=x^2+y^2+2\imath y^2$ 何处可导?何处解析?
如果f(z)是表达式里变量是z，那么f(z)可以看成是实函数来判断，比如f(z)=1/z，f '(z)= -1/(z^2)
如果f(z)的表达式u、v形式的那么就要根据C.-R方程来判断
$可导的充要条件是在x,y处可微且满足C-R方程:$
$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}$$\cap$$\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$
$f(z)=u(x,y)+\imath v(x,y)$
1. $\displaystyle \lim_{\Delta z \to 0}{\frac{\Delta w}{\Delta z}}$
$u(x,y)=x^2,v(x,y)=2(y+x)$
$\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\frac{\partial v}{\partial y}=2,\frac{\partial u}{\partial y}=0,\frac{\partial v}{\partial x}=2$
$可知f(z)不满C-R方程，所以f(z)在复平面内处处不可导，处处不解析$
2. $f(z)=x^2+y^2+2\imath y^2$
$u(x,y)=x^2+y^2,v(x,y)=2y^2$
$\frac{\partial u}{\partial x}=2x,\frac{\partial v}{\partial y}=4y,\frac{\partial u}{\partial y}=2y,\frac{\partial v}{\partial x}=0$
可知f(z)只在(0,0)时满足C-R方程，所以f(z)在z=0处可导， $f{'}(z)=\frac{\partial u}{\partial x}+\imath \frac{\partial v}{\partial x}=0$ ，对于其它z\neq0的点，函数f(z)不可导，所以函数在z=0处不解析，所以函数处处不解析.
题目在这里插入图片描述
1. 若一阶偏导连续，则处处可导，处处解析
题目在这里插入图片描述
$\displaystyle \int_Cf(z)dz=\displaystyle \int_Cu(x,y)dx-v(x,y)dy+i\displaystyle \int v(x,y)dx+u(x,y)dy$
参数方程形式 $z(t)=x(t)+\imath y(t)$
$x(t)=t^2,y(t)=t,z(t)=t^2+\imath t$
$在C上，dz=(2t+i)dt$
$于是\displaystyle \int^{}_{0}{(t^2+it^2)(2t+i)dt}$

6.P30
调和函数需要满足条件
$\varphi(x,y)$ 有二阶连续偏导数，且满足二维拉普拉斯变换方程
$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2}=0$
求解析函数可以用C-R方程来解，先求出另一个v，再用v求出整个函数，再将条件代入，求出0 。

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7.P51
若在单连通区域内解析，则路径无关闭曲线积分=0
如果是x，y，用展开的那种形式，如果是z，用参数方程的形式
明显z在不满足路径无关的条件
先求第一个:
$设C_1、C_2是C内既不相交也不相互包含的两条曲线，$
$f(z)有两个奇点z=1,z=2$
$C_1包围z=1，C_2包围z=2$
$根据线性运算法则求解积分$
$\oint_{|z|=4}=\oint_{C_1}\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-2}+\frac{1}{(z-1)^2(z-2)} dz+\oint_{C_2}$
$=\oint_{C_1}\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-2}+\frac{z-2+z-1}{(z-1)^2(z-2)} dz$
$=\oint_{C_1}\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z-2}+\frac{1}{(z-1)(z-2)}+\frac{1}{(z-1)^2} dz$
$4\pi$

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复变函数习题答案

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