概率论（三）：多维随机变量及其分布

2020-08-22  本文已影响0人  逸无无争

二维随机变量

设E是一个随机试验，它的样本空间是S=\left \{ e \right \}，设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，它们构成的向量(X,Y)称为二维随机向量或二维随机变量

假如(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y二元函数：F(x,y)=P\left \{X\leq x,Y\leq y \right \}称为 二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数

随机点(X,Y)落在矩形区域\left \{(x,y)|x_{1}<x\leq x_{2},y_{1}<y\leq y_{2} \right \}的概率为P\left \{x_{1}<X\leq x_{2},y_{1}<Y\leq y_{2} \right \}=F(x_{2},y_{2})-F(x_{1},y_{2})-F(x_{2},y_{1})+F(x_{1},y_{1})\geqslant 0

类似地，如果二维随机变量(X,Y)所有可能取值是有限对或无限可列对，则称(X,Y)是离散型的随机变量，假如(X,Y)所有可能取的值为(x_{i},y_{i}),i,j=1,2,\dots,，我们称之为随机变量X和Y的联合分布律,此时P\left \{X=x_{i},Y=y_{j} \right \}=p_{ij}，又由概率定义知：

假如对于随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，存在非负函数f(x,y)使对于任意x,y有F(x,y)=\int_{-\infty }^{y}\int_{-\infty }^{x}f(u,v)dudv，那么(X,Y)是连续型的二维随机变量，函数f(x,y)则是其概率密度，或说是随机变量X,Y的联合概率密度，根据有关定义，有：

边缘分布

对于二维随机变量(X,Y)来说，X,Y都有各自的分布函数，记作F_{X}(x),F_{Y}(y),并将之称为分别关于X,Y的边缘分布函数:F_{X}(x)=P\left \{X\leqslant x,Y < \infty \right \}=F(x,\infty),对于y，同理。
易知对于离散型随机变量：F_{X}(x)=F(x,\infty)=\sum_{x_{i}\leqslant x}^{}\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}
可求得X的分布律：P\left \{X=x_{i} \right \}=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}=p_{i\cdot},i=1,2,\dots,，p_{i\cdot}即关于随机变量X的边缘分布

对于连续型随机变量(X,Y):F_{X}(x)=F(x,\infty)=\int_{-\infty }^{x}\left [ \int_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy \right ]dx,可求概率密度：f_{X}(x)=\int_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy,f_{Y}(y)=\int_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx，此概率密度称为边缘概率密度

条件分布

设(X,Y)是二维离散型随机变量，对于固定的j,若P\left \{Y=y_{j} \right \}>0,则说：P\left \{X=x_{i} | Y=y_{j} \right \}=\frac{P\left \{X=x_{i},Y=y_{j} \right \}}{P\left \{Y=y_{j} \right \}}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}},i=1,2,\dots,为在Y=y_{j}条件下随机变量X的条件分布律

设(X,Y)是二维连续型随机变量，概率密度为f(x,y),关于Y的边缘概率密度为f_{Y}(y),对于固定的y,f_{Y}(y)>0，则称:f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}为在Y=y条件下X的条件概率密度，进一步：\int_{-\infty }^{x}f_{X|Y}(x|y)dx=\int_{-\infty }^{x}\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}dx为条件分布函数

若二维随机变量(X,Y)概率密度为f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{A} & (x,y)\in G\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.,其中·G为是平面上的有界区域，其面积为A，则称随机变量在G上服从均匀分布。

相互独立的随机变量

对于任意x,y，假如有以下式子成立：P\left \{X\leqslant x,Y\leqslant y \right \}=P\left \{ X\leqslant x\right \}P\left \{Y\leqslant y \right \}，即F(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)，则说随机变量X与Y是相互独立的，或者连续型随机变量对应等式f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)成立时，离散型随机变量对应等式：P\left \{ X=x_{i},Y=y_{j} \right \}=P\left \{ X=x_{i} \right \}P\left \{Y=y_{j} \right \}成立时。

两个随机变量的函数的分布

Z=X+Y分布

若(X,Y)是二维连续型随机变量且其概率密度为f(x,y)，则Z=X+Y仍为连续型随机变量，概率密度为:
f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty }^{\infty }f(z-y,y)dy
或f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty }^{\infty }f(x,z-x)dx
如果X,Y相互独立，那么f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty }^{\infty }f_{X}(z-y)f_{Y}(y)dy=\int_{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx,此公式亦称卷积公式

Z=\frac{Y}{X},Z=XY分布

若(X,Y)是二维连续型随机变量且其概率密度为f(x,y)，则Z=\frac{Y}{X},Z=XY仍为连续型随机变量，概率密度分别为：
f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}|x|f(x,xz)dx
f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|x|}f(x,\frac{z}{x})dx
如果X,Y相互独立,那么
f_{Y/X}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}|x|f_{X}(x)f_{Y}(y)dx
f_{XY}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|x|} f_{X}(x)f_{Y}(\frac{z}{x})dx

M=max\left \{X,Y \right \}及N=min\left \{X,Y \right \}分布

X,Y相互独立，则：
F_{max}(z)=P\left \{M\leqslant z \right \}=P\left \{X\leqslant z ,Y\leqslant z \right \}=F_{X}(z)F_{Y}(z)
F_{min}(z)=P\left \{N\leqslant z \right \}=1-P\left \{N>z \right \}=1-P\left \{X>z \right \}\left \{Y>z \right \}=1-\left [1-F_{X}(z) \right ]\left [1-F_{Y}(z) \right ]

推广到n个相互独立的随机变量：
F_{max}(z)=F_{X_1}(z)F_{X_2}(z)\dots F_{X_n}(z)
F_{min}(z)=1-\left [1-F_{X_1}(z) \right ]\left [1-F_{X_2}(z) \right ]\dots \left [1-F_{X_n}(z) \right ]

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