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0118数学-微分2

2019-01-18  本文已影响3人  张老师Klog

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微分derivative

首先回顾微分的概念。
如下图所示，蓝色弧线表示函数y=x3，或写作f(x)=x3。
红色线表示函数弧线上任意点的切线tangent。
黑色水平横线的长度则表示了切线斜率的值（y=kx+m方程中的k值），这里仅示意数值大小。

曲线上某点的导数即是这个点上切线的斜率Δy/Δx。
如何计算某点上导数的数值（即黑色横线的长度）？当然我们可以假设Δx是极小的0.0001，根据x=4和x=4.0001计算得到y值的差，就当做是Δy，然后Δy除以0.0001就可以得出近似值，为什么说是近似值？因为这里的0.0001并不是真的趋近于0的极小值，Δy当然也不对。

要精确计算某点上的导数（斜率），似乎就应使用此点上真正趋近于0的极小值Δx以及对应的Δy，这里的Δx和Δy叫做此点的微分。

微分方程differential equation

无限趋近于0的神秘Δx和Δy永远无法获得，那么是不是就没有可能得到精确的斜率了呢？

当然有办法，由于我们要的并不是Δx和Δy，而是是Δy/Δx，如果我们能从原来的f(x)推导出Δy/Δx的表达式，就可以求出斜率的精确值。

比如对于f(x)=x2的导数可以进行如下推导：

\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)-f(x-Δx)}{Δx}
\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-(x-Δx)^2}{Δx}
\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x^2-x^2+2xΔx-Δx^2}{Δx}
\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2x-Δx
由于Δx是趋近于0的极限值，所以可以直接忽略，得到：
\frac{dy}{dx}=2x

也就是
f'(x)=2x

这种能够从x直接求出导数f'(x)或者说dy/dx的方程，就叫做微分方程。

可导与不可导differentiable & Non-differentiable

从上面的推导可以看出，并不是所有方程都像f(x)=x2这样可以通过展开然后轻易的去掉Δx从而等号右侧最终获得只关于x的算式。

如果一个函数无法推导出对应的微分方程，那么就说是不可导的。当然有些函数曲线只在x的某个范围内可以找出微分方程，那么就只能说它在这个区间是可导的。

下面是几个常见的导数计算公式：

f(x)=c \quad \rightarrow \quad f’(x)=0
f(x)=x^a \quad \rightarrow \quad f’(x)=ax^{a-1}
f(x)=a^x \quad \rightarrow \quad f’(x)=a^xlna
f(x)=lnx \quad \rightarrow \quad f’(x)=\frac{1}{x}
f(x)=log_ax \quad \rightarrow \quad f’(x)=\frac{1}{x}log_ae=\frac{1}{xlna}
f(x)=e^x \quad \rightarrow \quad f’(x)=e^x
f(x)=e^-x \quad \rightarrow \quad f’(x)=-e^{-x}
f(x)=sin(x) \quad \rightarrow \quad f’(x)=cos(x)
f(x)=cos(x) \quad \rightarrow \quad f’(x)=-sin(x)
f(x)=ctg(x) \quad \rightarrow \quad f’(x)=sec^2(x)=\frac{1}{cos^2x}
f(x)=ctg(x) \quad \rightarrow \quad f’(x)=-csc^2(x)

导数的四则运算：
[u(x) + v(x)]’ = u’(x) + v’(x)
[u(x) - v(x)]’ = u’(x) - v’(x)
[u(x)∗v(x)]′=u′(x)∗v(x)+v′(x)∗u(x)
[\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-v'(x)u(x)}{v^2(x)}

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