t检验的基本思想----t分布
在学习t检验之前，大家首先要明白什么是t分布？
历史由来：
18世纪初，正态分布被发现后，大家无不惊异于世界的神奇，发现竟然很多现象的变化都可以用正态分布解释，并且只要样本足够多，这种变化总会趋于正态分布或近似正态分布，这样的发现以及应用一直持续到19世纪末。
20世纪初，面对时代的高速发展，各种行业越来越重视数据的重要性，各行各业的研究学者越来越多，此时有人就发现了一个问题：对于同样的指标，在大样本的时候它服从正态分布甚至标准正态分布，但如果数据少了，此时得到的图形就和正态分布不太一样了。
这个人就是威廉·戈塞（Gosset），戈塞是小样本统计理论的开创者，他在酿酒公司工作中发现，供酿酒的每批麦子质量相差很大，而同一批麦子中能抽样供试验的麦子又很少，每批样本在不同的温度下做实验，其结果相差很大，这样一来，实际上取得的麦子样本，不可能是大样本，只能是小样本。可是，从小样本来分析数据是否可靠？误差有多大？
小样本理论就在这样的背景下应运而生。1905年，戈塞利用酒厂里大量的小样本数据写了第一篇论文《误差法则在酿酒过程中的应用》，在此基础上，1907年戈塞决心把小样本和大样本之间的差别搞清楚。为此，他试图把一个总体中的所有小样本的平均数的分布刻画出来，做法是，在一个大容器里放了一批纸牌，把它们弄乱，随机地抽若干张，对这一样本做实验记录观察值，然后再把纸牌弄乱，抽出几张，对相应的样本再做实验观察，记录观察值，大量地记录这种随机抽样的小样本观察值，就可借以获得小样本观察值的分布函数，若观察值是平均数，戈塞把它叫做t分布函数。
由于当时酒厂为了通过戈塞的发现提升自己的经济效益，禁止戈塞把此发现发表在学术刊物上，但戈塞不想将如此重要的发现浪费在这个小小的酒厂，于是通过“student"这一笔名将t分布公诸于世。
戈塞提出了t分布，但真正将t分布发扬光大的是罗纳德·费雪，也就是大名鼎鼎的Fisher大神，这个人简直就是个神仙，几乎我们现在学的大部分现代统计学知识，都有他的影子，关于他的光辉事迹，以后再说。
t分布图形：
展示t分布最好的方式就是拿正态分布一起作比较，看看他们直接到底有什么关系。
由图可知，最上方是正态分布，中间的是自由度=10的分布，最下方的是自由度为n-1的t分布。t分布相比正态分布更矮，两端的”小尾巴"更翘。（关于自由度的问题，我会单独写一篇介绍，此处就不多赘述）
这里要明确一个观念，t分布不是一个分布，是一簇分布。决定t分布的参数有且只有一个，就是自由度，自由度越小，和正态分布差别越大，相应图形越发矮胖；自由度越大，t分布慢慢趋于正态分布，当自由度大到一定程度，t分布就接近标准正态分布。那么自由度到底是多少t分布才接近正态分布呢？
自由度=30，t分布非常接近正态分布；自由度=50，差别很小，完全可以将t分布看作正态分布。
不用去纠结，这是既定的事实，对于我们在应用过程中知道就行，不用管为什么。如果确实有小伙伴好奇，验证起来也很简单，找一组样本量＞50的数据（比如100），分别作自由度30，50（都是随机抽样）和100的t分布图形，最后对比，就不难发现，自由度50和100几乎一致，30也十分接近100。
不管是t分布还是正态分布，它的意义是什么？
在标准正态分布图形中，一侧2.5%面积对应的Z值为1.96，即使是在正态分布中μ±1.96σ的面积也为95%。但t分布却不是，当自由度=5时，右侧2.5%面积对应的t值为2.57；当自由度=30时，右侧2.5%面积对应的t值为2.04。所以通过t分布作统计推断时，依据的是t界值表，而不是正态分布的。
t分布下的统计推断：
应用统计的目的是得到我们想要的结果，方法通常有参数估计和统计推断，而统计推断更为常用。
举一个小栗子：你现在是一个幼儿园小班的年纪主任，新学期到了，你想看看新一届幼儿园小班小朋友的身高是否达到全国标准，由于小班一共15个个，每班都有25名小朋友，没那么多精力全部调查一遍，现随机抽取一个小班的25人，通过统计方法来得到结果。
其实学过统计的人都知道，这就是一个典型的单样本t检验，我们先查到全国3-4岁小朋友的正常身高，再计算25名小朋友身高的均值和标准差，通过t检验公式得到一个t值，再按照α=0.05，自由度=24查t界值表再得到一个t值。
如果t＞tα,v，那相应P值就＜0.05（P值是从样本统计结果推论至总体时所犯错误的概率），由上图可知，t值越大，P值就越小，就越有理由相信这一届小班小朋友的身高＞全国标准；如果t＜tα,v，P值＞0.05，不能说这一届小班小朋友的身高＜全国标准，只能说还不能认为这一届小班小朋友的身高＞全国标准，因为有可能存在抽样误差，恰好这25个小朋友普遍都比较低，这并不能代表整体小班小朋友。
以上就是我对t分布的理解，想熟练掌握统计只学应用不懂一点原理是不行的，这会让人形成思维定势，毕竟有些数据并不像例题那么规范，应该结合其他统计知识去调整，懂一点原理也可以更好的帮助我们理解每一个结果背后的意义。
下篇我们将介绍t分布下的三种t检验方法，拜拜。
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