仪天历日躔盈缩算法

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释文

数：

《仪天》岁差一百一十八、秒九十九，一象度九十一、余三千一百四十二、秒五十，盈初缩末限分八十九万七千六百九十九、秒五十，限日八十八、余八千八百九十九、秒五十，缩初盈末限分九十四万六千七百八十五、秒五十，限日九十三、余七千四百八十五、秒五十，盈缩积二万四千五百四十三，进退率一千八百三十六，秒母一百。

限分为二分二至间定气长的累积值，以分表示，限日则以日表示。

$盈初限分=缩末限分=897699.5$

$缩初限分=盈末限分=946785.5$

$限日=\frac{限分}{宗法}$

$盈缩积=24543$

术：

《仪天》以宗法乘盈缩积，以其限分除之，为限率分，倍之，为未限平率；日分乘之，亦以限分除之，为日差；半之，加减初、末限平率，在初者减初加末，在末者减末加初，为末定率；乃以日差累加减限初定率，初限以减、末限以加，为每日盈缩定分；各随其限盈加缩减其下先后数，为每日先后定数；冬至后积盈为先，在缩减之；夏至后，积缩为后，在盈减之。其进退率、升平积准此求之，即各得其限每日进退率、升平积也。

又《仪天》有求四正节定日，去冬、夏二至盈缩之中，先后皆空，以常为定；其春、秋二分盈缩之极，以一百乘盈缩积，满宗法为日，先减后加，去命如前，各得定日。若求朔、弦、望盈缩限日，以天正闰日及余减缩末限日及分，余为天正十一月经朔加时入限日及余；以弦策累加之，即得弦、望及后朔初、末限日；各置入限日及余，以其日进退率乘之，如宗法而一，所得，以进退其日下升平积，即各为定数。

这段文字非常简省，其“初”、“末”有三种含义：初末限（即盈初缩末缩初盈末四限）、初末限平率、初末定率。“盈”、“缩”有两种含义：盈缩积、盈缩分。下详。

以宗法乘盈缩积，以其限分除之，为限率分，倍之，为未限平率：末限平率应为初末限平率，在冬至-春分或夏至-秋分为初限平率，在春分-夏至或秋分-冬至为末限平率。例：

冬至-春分：用盈初限分，盈缩积为盈，盈缩分为盈，值为初限平率。

春分-夏至：用盈末限分，盈缩积为盈，盈缩分为缩，值为末限平率。

夏至-秋分：用缩初限分，盈缩积为缩，盈缩分为盈，值为初限平率。

秋分-冬至：用缩末限分，盈缩积为缩，盈缩分为缩，值为末限平率。

$限率分=\frac{宗法×盈缩积}{限分} =\frac{盈缩积}{限日}$

$初末限平率=2×限率分$

日分乘之，亦以限分除之，为日差，半之，加减初、末限平率，在初者减初加末，在末者减末加初，为末定率：日分即日法为分。初末限平率既是各限初末平率，也是各限初日的初平率或末日的末平率。“减初加末”即减为初加为末，“减末加初”即减为末加为初。

此处有缺文或简省，对于盈初缩初限，结果为初定率。对于盈末缩末，只求得末定率，下文求每日盈缩定分只用限初定率，故应再以2倍限率分减之，得限初定率。

“在初者减初加末”即在盈初或缩初时，初日平率减半日差为初日定率（初日定率即初日内半日处的平率）；末日平率加半日差为末日定率。“在末者减末加初”即在盈末或缩末时，末日平率减半日差为末日定率，初日平率加半日差为初日定率。

$日差=\frac{初末限平率×日分}{限分} =\frac{初末限平率}{限日}$

冬至-春分（盈初）、夏至-秋分（缩初）：在初者减初加末 $限初定率=初日定率=初日平率-半日差=初限平率-半日差$

$末限平率=初限平率-限率分×2$

$限末定率=末日定率=末日平率+半日差=末限平率+半日差$

春分-夏至（盈末）、秋分-冬至（缩末）：在末者减末加初 $限末定率=末日定率=末日平率-半日差=末限平率-半日差$

$初限平率=末限平率-限率分×2$

$限初定率=初日定率=初日平率+半日差=初限平率+半日差$

乃以日差累加减限初定率，初限以减、末限以加，为每日盈缩定分：初限为盈初缩初，末限为盈末缩末。

仪天历并未指出“每日”的范围，按其他分象限计算的历法一般将每日定为二至后。即冬至-夏至共182日的每个整数日，及夏至-冬至共182日的每个整数日。从二至起每日日数为i（整数）。

冬至-春分（盈初）： $入限日=i$

夏至-秋分（缩初）： $入限日=i-盈初限日$

春分-夏至（盈末）： $入限日=i$

秋分-冬至（缩末）： $入限日=i-缩初限日$

冬至-春分（盈初）、夏至-秋分（缩初）： $盈缩定分_{i} =限初定率-日差×入限日$

春分-夏至（盈末）、秋分-冬至（缩末）： $盈缩定分_{i} =限初定率+日差×入限日$

各随其限盈加缩减其下先后数，为每日先后定数；冬至后积盈为先，在缩减之；夏至后，积缩为后，在盈减之：盈初缩初限的限初先后数为0，盈末缩末限的限初先后数为盈缩积。

冬至-春分（盈初，在盈，先）： $先后定数_{i} =限初先后数+\sum_{i}^n 盈缩定分_{i} =\sum_{i}^n 盈缩定分_{i}$

春分-夏至（盈末，在缩，后）： $先后定数_{i}=限初先后数-\sum_{i}^n 盈缩定分_{i} =盈缩积-\sum_{i}^n盈缩定分_{i}$

夏至-秋分（缩初，在盈，先）： $先后定数_{i}=限初先后数-\sum_{i}^n 盈缩定分_{i} =-\sum_{i}^n 盈缩定分_{i}$

秋分-冬至（缩末，在缩，后）： $先后定数_{i}=限初先后数+\sum_{i}^n 盈缩定分_{i} =-盈缩积+\sum_{i}^n 盈缩定分_{i}$

其中∑盈缩定分，即以限初定率为初项、日差为公差的等差数列之和。即：

冬至-春分（盈初）、夏至-秋分（缩初）：递减数列 $\sum_{i}^n 盈缩定分_{i}=入限日×限初定率-\frac{入限日×(入限日-1)}{2} ×日差=入限日×初限平率-\frac{日差}{2}×入限日^2$

春分-夏至（盈末）、秋分-冬至（缩末）：递增数列 $\sum_{i}^n 盈缩定分_{i}=入限日×限初定率+\frac{入限日×(入限日-1)}{2}×日差=入限日×初限平率+\frac{日差}{2}×入限日^2$

以符号表示，本限盈缩积为Δ1（盈初缩末限用正，盈末缩初限用负），限日为s，所求入限日为t。即有

盈初缩末： $\sum_{t}^s 盈缩定分_{t} =\pm\frac{2Δ_{1} }{s} t\mp \frac{Δ_{1} }{s^2}t^2$

盈末缩初： $\sum_{t}^s 盈缩定分_{t} =\mp \frac{Δ_{1} }{s^2}t^2$

代入先后定数公式：

冬至-春分（盈初，在盈）、夏至-秋分（缩初，在盈）： $f(t)=\pm(\frac{2Δ_{1} }{s} t- \frac{Δ_{1} }{s^2}t^2)$

春分-夏至（盈末，在缩）、秋分-冬至（缩末，在缩）： $f(t)= \pm Δ_{1}\mp \frac{Δ_{1} }{s^2}t^2$

至此为仪天历所求每日先后定数，在不同象限表达式不同。

而若在缩时，令 $\dot{t} =s-t$ ，即得 $f(t)=\pm(\frac{2Δ_{1} }{s}\dot{t} - \frac{Δ_{1} }{s^2}\dot{t} ^2)$ ，二式合并：

$f(t) =\pm(\frac{2Δ_{1} }{s} t- \frac{Δ_{1} }{s^2}t^2)=\pm \frac{\Delta }{s^2} t(2s-t)$ ，可获得统一的计算公式，此即相减相乘法的一般式。该式在盈初缩初时t为入限日，在盈末缩末时t为限日－入限日。

此亦实为等间距二次插值法的特殊式。仪天历对各限进行插值，以本限盈缩积为Δ1，后限盈缩积为Δ2，则其前后限的盈缩积刚好相反，有Δ2＝﹣Δ1，前后限限日相近，皆设为s，代入等间距二次插值公式

$f(t)=\frac{Δ_{1} +Δ_{2}}{2s}t ±\frac{Δ_{1}-Δ_{2}}{s} t\mp \frac{Δ_{1}-Δ_{2}}{2s^2}t^2$ 即得上式。t值在不同象限变化与上相同。

故知在分象限计算时，无论使用相减相乘法或等间距二次插值法，需注意在不同象限t值略异，在末限时需反减限日。而相减相乘法不用初末率，优势在于形式简单，计算方便。

仪天历的术文表达方式与使用等间距二次内插法的历法相同，而不同于相减相乘法，后者更为简洁。仪天历在不同象限的限日取不同值，似乎想要得到如不等间距二次插值法一样更精确的结果。但实际反而不如使用平象限91.3109日的算法。原因在于，定象限法在求盈初缩末象限时，将盈初缩末限分作为缩初盈末限分，前后象限和仅为176.76日；而在求缩初盈末象限时，将缩初盈末限分作为盈初缩末限分，前后象限和则有187.48日。（其后观天历的“倍初末限日及约分于下”即此表达。）与半岁长182.62日相差皆过大。下图中提供了几种计算方法求每日先后定数的对比，可见使用平象限精度要高于定限。唐代《符天历》和《崇玄历》都选用平象限，是正确认识到相减相乘法的等间距插值本质。

其进退率、升平积准此求之：用进退率1836代替以上各式中盈缩积24543，以上所求每日盈缩定分即进每日进退定率，先后定数即升平定积。

求四正节定日：所求定日为冬至到四正节的定积日，即冬至-二分二至的各气定日之和，并非一气内的定日。以冬至气序从0起排，则：

$常日=\frac{岁周×10}{宗法} ×气序$

$定日=常日\mp \frac{各气先后数}{宗法} =\frac{岁周×10×气序\mp 各气先后数}{宗法}$

去冬、夏二至盈缩之中，先后皆空，以常为定：冬夏二至的盈积与缩积相等，即先后数为0。此时定日与常日相等。

$冬至定日=冬至常日-\frac{冬至先后数}{宗法} =0$

$夏至定日=夏至常日+\frac{夏至先后数}{宗法} =夏至常日$

其春、秋二分盈缩之极，以一百乘盈缩积，满宗法为日，先减后加，去命如前，各得定日：盈缩积与春秋二分的先后数相等，春分为先用减，秋分为后用加。依算理此段应改为：“以盈缩积，满宗法为日，加减常日，先减后加，去命如前，各得定日”。

$春分定日=春分常日-\frac{春分先后数}{宗法} =春分常日-\frac{盈缩积}{宗法}$

$秋分定日=秋分常日+\frac{秋分先后数}{宗法} =秋分常日+\frac{盈缩积}{宗法}$

各置入限日及余，以其日进退率乘之，如宗法而一，所得，以进退其日下升平积，即各为定数：“各置入限日及余”，所置入限日用以对照前已求的每日进退率及升平积，得到该日的进退率及升平积。所置入限余用以乘下文进退率。“进退率”为该入限日的进退定率，即该日半日处的平率。

$进退定率_{t} =进退率_{t} ×\frac{入限日余}{宗法}$

$升平定积_{t} =升平积_{t}\pm 进退定率_{t}$

以上求每日进退率用二次插值法，最后求不足一日的进退率又改用简单内插法。盖每日盈缩进退皆备为立成，用时查表即可，非每次依术为算。

仪天历各项含义示例

图解

等间距二次插值法

如图所示，AB为盈初限日，BC为盈末限日，CD为缩初限日、DE为缩末限日。I为AB中点。K为所求点。

$S_{△ABG} =盈积=\Delta$ ， $S_{△BCF} =缩积=-\Delta$ ，

$S_{△CDF} =缩积=-\Delta$ ， $S_{△DEH} =盈积=\Delta$

$盈初限限率分=\frac{S_{△ABG}}{AB} =IJ=\frac{\Delta }{s}$ ，

$初限平率=2×限率分=2×IJ=AG=\frac{2\Delta }{s}$ ；

同理， $盈末限末限平率=\frac{2×S_{△BCF}}{BC} =CF$ ， $初限平率=末限平率-CF=0$

$缩初限初限平率=\frac{2×S_{△CDF}}{CD} =CF$

$缩末限末限平率=\frac{2×S_{△DEH}}{DE} =EH$ ， $初限平率=末限平率-EH=0$

$盈初限日差 =\frac{初限平率}{限日} =\frac{AG}{AB}=\frac{2\Delta }{s^2}$ ， $盈末限日差 =\frac{末限平率}{限日} =\frac{CF}{BC}$

$盈初限日差 =\frac{初限平率}{限日} =\frac{CD}{CF}$ ， $缩末限日差 =\frac{末限平率}{限日} =\frac{EH}{DE}$

以盈初限为例，AA'为入限第一日，A''为AA'中点。AK＝t，KK‘为入限第t-1日，K''为KK'中点。

求先后定数即求A点到所求点K的面积之和 $S_{梯形AGKL}$

$限初定率=初限平率-\frac{日差}{2} =\ddot{A} \ddot{G} =\frac{2\Delta }{s} -\frac{\Delta }{s^2}$

由梯形面积公式： $S_{梯形AG\dot{G} \dot{A} }=\frac{AG+\dot{A} \dot{G}}{2} \times A\dot{A} =\ddot{A} \ddot{G} \times A\dot{A}$ ，即第一日的盈缩定分

同理， $S_{梯形KL\dot{L} \dot{K} }=\ddot{K} \ddot{L}×\times K\dot{K}$ ，即第t日的盈缩定分

$S_{梯形AGKL}=S_{梯形AG\dot{G} \dot{A} }+……+S_{梯形KL\dot{L} \dot{K} }$ ，为入限t日内的盈缩定分（即各日梯形面积）的累加值

$A\dot{A}=……=\times K\dot{K}=1$ ， $S_{梯形AGKL}=\ddot{A} \ddot{G}+……+\ddot{K} \ddot{L}$

即首项为 $\ddot{A} \ddot{G}=\frac{2\Delta }{s} -\frac{\Delta }{s^2}$ ，公差为 $\frac{AG}{AB}=\frac{2\Delta }{s^2}$ ，项数为t的递减数列，

$S_{梯形AGKL}=(\frac{2\Delta }{s} -\frac{\Delta }{s^2} )×t+\frac{t(t-1)}{2} ×\frac{2\Delta }{s^2} =\frac{\Delta }{s^2}t(2s-t)$

$先后定数_{t} =0+S_{梯形AGKL}=\frac{\Delta }{s^2}t(2s-t)$

相减相乘法

如图所示，AB为盈初限日，BC为盈末限日，CD为缩初限日、DE为缩末限日。I、K为所求点。

有AB＝BC＝CD＝DE＝s， $S_{△ABG} =\Delta$ ， $S_{△BCF}=-\Delta$

以盈初限为例（缩初同）， $AI=t$ ， $AG=2\times \frac{S_{△ABG}}{AB} =\frac{2\Delta }{s}$

由相似三角形， $\frac{JI}{AG} =\frac{BI}{AB} =\frac{AB-AI}{AB}$ ，

$JI=\frac{AB-AI}{AB}×AG=\frac{s-t}{s} \times \frac{2\Delta }{s} =\frac{2\Delta }{s} -\frac{2\Delta }{s^2} t$

$S_{梯形AGJI}=\frac{AG+JI}{2} \times AI=(\frac{2\Delta }{s} +\frac{2\Delta }{s} -\frac{2\Delta }{s^2} t)\times \frac{t}{2} =(\frac{2\Delta }{s} -\frac{\Delta }{s^2} t)t=\frac{\Delta }{s^2}t(2s-t)$