风险管理定量基础（2）

（3）正态分布

正态分布的应用场景：正态分布是风险分析中最适用的一个函数，如果影响一个事件发生的因素非常多，且每一个因素产生的影响力均有限（不是特别大），又不同因素之间相互独立，则可以用正态分布来描述。

正态分布的公式：

正态分布公式

上述公式中，μ代表均值，σ代表标准差。

美型。我们可以把正态分布的曲线看作一个美妙的图形，μ标定了该曲线的对称轴在哪里，又被称为位置参数，而σ则描绘了该曲线的高矮胖瘦程度，σ越大，曲线越矮且胖，σ越小，曲线越高且瘦，σ又被称为形状参数。

完美。正态分布曲线还有一个特别之处就是整个曲线下方的面积为1，也就是100%的完美。

三个特殊临界值。在距离均值1个σ、2个σ、2.5个σ的位置，是三个常用的概率值：

P（μ-σ＜X＜μ+σ）≈68%

P（μ-2σ＜X＜μ+2σ）≈95%

P（μ-2.5σ＜X＜μ+2.5σ）≈99%

标准正态分布。当μ=0，σ=1时，称该正态分布为标准正态分布，记为N（0,1）。一般正态分布转换为标准正态分布的公式为：

普通正态分布向标准正态分布的转换

（3）卡方分布

卡方分布是n个服从标准正态分布的变量的平方之和：

卡方分布

卡方分布的特点是：E(X)=n,D(X)=2n

（4）t分布

假设随机变量X服从标准正态分布N（0,1），Y服从卡方分布，且X和Y相互独立，则：

t分布

t分布曲线是一条以0为中心，左右对称的单峰曲线。

自由度n决定t分布曲线的形状，当n较小时，t分布呈现厚尾形状，当n趋近于无穷大时，t分布趋近于标准正态分布曲线。

（5）F分布

假设X服从卡方（m）分布，Y服从卡方（n）分布，且X与Y相互独立，则：

F分布

3.偏度和峰度

偏度衡量的是概率分布的不对称性，它是样本的三阶标准化矩，公式为：

偏度

偏度，在负无穷到正无穷之间，偏度为正值时，数据分布呈现右偏（又称正偏），偏度为负值时，数据分布呈现左偏（又称负偏）。

正偏与负偏

峰度，衡量的是随机变量概率分布的陡峭程度，它是样本的四阶标准化矩，公式为：

峰度

峰度的取值范围为[1,正无穷]，正态分布的峰度为3，当峰度大于3时，呈现“尖峰肥尾”的形态，当峰度小于3时，呈现“矮峰瘦尾”的形态。