利用构造法求数列通项公式四

2020-11-03 本文已影响0人天马无空

利用构造法求数列通项公式四

方法八利用构造法求数列通项公式四

使用情景：型如 $a_{n+1}=pa_n+qa_{n-1}$ （其中 $p,q$ 为常数，且 $pq \neq 0$ ， $n \geqslant 2$ ）

解题步骤：

第一步假设将递推公式改写成 $a_{n+1}+sa_n=t(a_n+sa_{n-1})$ ；

第二步利用待定系数法，求出 $s$ ， $t$ 的值；

第三步求数列 $\{a_{n+1}+sa_n\}$ 的通项公式；

第四步根据数列 $\{a_{n+1}+sa_n\}$ 的通项公式，求出数列 $\{a_n\}$ 通项公式.

【例】数列 $\{a_n\}$ 中， $a_1=1$ ， $a_2=2$ ， $3a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n$ ，求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式。

【解】 $3a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n$ 得 $a_{n+2}=\dfrac{2}{3}a_{n+1}+\dfrac{1}{3}a_n$ ，

设 $a_{n+2}-ka_{n+1}=h(a_{n+1}-ka_n)$

比较系数得 $k+h=\dfrac{2}{3}$ ， $-hk=\dfrac{1}{3}$ ，

解得 $k=1$ ， $h=-\dfrac{1}{3}$ 或 $k=-\dfrac{1}{3}$ ， $h=1$

若取 $k=1$ ， $h=-\dfrac{1}{3}$ ，则有 $a_{n+2}-a_{n+1}=-\dfrac{1}{3}(a_{n+1}-a_n)$

$\therefore \{a_{n+1}-a_n\}$ 是以 $-\dfrac{1}{3}$ 为公比，以 $a_2-a_1=2-1=1$ 为首项的等比数列

即 $a_{n+1}-a_n=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$

由累差法可得

$a_n=(a_n-a_{n-1})+(a_{n-1}-a_{n-2})+…+(a_2-a_1)+a_1$

$=\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-2}+\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-3}+…+\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2+\left(-\dfrac{1}{3}\right)+1+1$

$=\dfrac{1-\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}}{1+\dfrac{1}{3}}+1$

$=\dfrac{3}{4}\left[1-\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\right]+1$

$=\dfrac{7}{4}-\dfrac{3}{4} \times \left(-\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}$

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