线性代数系列：矩阵的相乘和幂运算计算技巧

2025-08-05 本文已影响0人 xiaogp

关键词：线性代数，矩阵相乘

内容摘要

求两矩阵相乘的幂运算
分块对角矩阵的幂运算
带有初等变换的矩阵相乘计算
秩为1的矩阵的幂运算

求两矩阵相乘的幂运算

这类题目考虑化简，比如累乘中间部分转化为一个具体的数，或者中间部分是一个对角阵，或者可以通过对角化手段

例题1

设 $\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$ , $\mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ , $A = \mathbf{a} \mathbf{b}^T$ ，则
$A^3 = \ ?$

此题可以死算，但优先使用指数累乘的化简方法。
由于 $\mathbf{a}$ 是 $3 \times 1$ ， $\mathbf{b}^T$ 是 $1 \times 3$ ，所以 $A = \mathbf{a} \mathbf{b}^T$ 是 $3 \times 3$ 矩阵；
而 $\mathbf{b}^T \mathbf{a}$ 是 $1 \times 1$ ，是一个数。

因此：
$A^3 = (\mathbf{a} \mathbf{b}^T)^3 = \mathbf{a} (\mathbf{b}^T \mathbf{a}) (\mathbf{b}^T \mathbf{a}) \mathbf{b}^T = (\mathbf{b}^T \mathbf{a})^2 \cdot \mathbf{a} \mathbf{b}^T$

计算：
$\mathbf{b}^T \mathbf{a} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix} = 2 \cdot 1 + 0 \cdot 3 + 0 \cdot (-2) = 2$

所以：
$A^3 = (2)^2 \cdot \mathbf{a} \mathbf{b}^T = 4 \cdot \mathbf{a} \mathbf{b}^T$

计算 $\mathbf{a} \mathbf{b}^T$ ：
$\mathbf{a} \mathbf{b}^T = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

因此：
$A^3 = 4 \cdot \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 & 0 \\ 24 & 0 & 0 \\ -16 & 0 & 0 \end{bmatrix}$

例题2

设 $PA = BP$ ，其中
$P = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 5 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$
则
$A^{100} = \ ?$

因为 $PA = BP$ ，且 $|P| \neq 0$ ，所以 $P$ 可逆，因此
$A = P^{-1} B P$

所以
$A^{100} = P^{-1} B^{100} P = P^{-1} E P = P^{-1} P = E$

分块对角矩阵的幂运算

分块对角矩阵是指左上和右下为有值矩阵，左下和右上为0的矩阵，这种矩阵的幂运算有独立性，一定程度上能方便计算，公式为
$\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} A^n & 0 \\ 0 & B^n \end{bmatrix}$
把A，B都想象成一个数，则公式显然是成立的。

例题3

已知
$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}$
则
$A^5 = \ ?$

此题为分块对角矩阵，可以使用以上公式
$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}^5 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}^5 = \begin{bmatrix} 16 & -16 \\ -16 & 16 \end{bmatrix}$

最终拼接得到
$\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 16 & -16 \\ 0 & 0 & -16 & 16 \end{bmatrix}$

带有初等变换的矩阵相乘计算

该类题可能一个矩阵都不给出，要先求出初等变换矩阵，再化为目标式

例题4

设 $A$ 为 3 阶可逆矩阵，将矩阵 $A$ 第一行的2倍加到第二行得到矩阵 $B$ ，求
$A B^{-1} = \ ?$

此题看似什么矩阵都没给出，实则要先求出初等变换矩阵
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

他左乘A得到B

由题意，矩阵 $B$ 是将 $A$ 的第一行的 2 倍加到第二行得到的，因此有：
$B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A$

将上式两边同时右乘 $B^{-1}$ ，得：
$E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A B^{-1}$

再两边左乘该初等矩阵的逆矩阵：
$A B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

因此：
$\boxed{A B^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}}$

秩为1的矩阵的幂运算

秩为1的矩阵，可以化为两个向量的外积，而幂运算使得能够产生内积标量，从而简化计算

例题5

已知 $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 4 & -2 & 6 \\ -2 & 1 & -3 \end{bmatrix}$ ，则 $A^{10} = \, ?$

这个题可以通过对角化死算，求特征值特征向量和逆矩阵，计算量很大，技巧是该矩阵是秩为1的矩阵，每一行都是第一行的倍数，因此该矩阵可以化为两个向量的外积，以第一行作为其中一个横向量，易得
已知 $A = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \end{bmatrix}$ ，
因为
$\begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix} = -3$ ，