Lambek-Moser定理

2020-07-22 本文已影响0人半个一

该定理由J·拉姆贝克(Lambek)与L·莫斯尔(Leo Moser)提出

我们将满足

$(i){an}∪{bn}=N+$

$(ii){an}∩{bn}=∅$

的两数列 ${an}$ 和 ${bn}$ 称为互补数列

对于互补数列，有如下的：

Lambek—Moser定理

设 $f(n)$ 是一个 $N+→N+$ 的不减函数。定义 $f∗(n)=|{k|f(k)<n}|$ ,其中 $|Z|$ 表示集合 $Z$ 中元素的个数。记 $F(N+)和G(N+)$ 分别为函数 $F(n)=f(n)+n和G(n)=f∗(n)+n$ 的值域。则 $F(N+) 与G(N+)$ 是互补的.

证明: ~~没有学到…现在还不会~~证这种鬼东西~~... 以后再填坑（来自学生狗的无奈qwq……）~~

例1:

求证：在正整数序列中，删去所有完全平方数后，第 $n$ 项等于 $n+[√n+1/2]$ .其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.(第27届普特南数学竞赛）

~~（我不清楚标准答案是什么，但我自己瞎搞搞出来一个...）~~

证明：

令 $F(n)=n+[√n+1/2]$

$G(n)=n2=n+n(n−1)$

则根据原命题，知:

$F(n)$ 的值域 $F(N+) 与G(n)$ 的值域 $G(N+)$ 互补.

考虑构造函数:

$F(n)=n+[√n+1/2]$

$g(n)=n(n−1)$

由Lambek-Moser定理,

原命题等价于求证:

$g(n)=n(n−1)=|{k|f(k)<n}|$

考虑 $maxk$ 使得 $f(k)<n$

则 $[√k+12]<n$

$√k</p><p> <img class=$

得 $k<=n²−n$

所以 $|{k|f(k)<n}|=n(n−1)$

证毕.

例2:

删去正整数数列1,2,3,⋅⋅⋅1,2,3,···中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第20032003项是（　）

(A) 20462046 (B) 20472047 (C) 20482048 (D) 20492049

（20032003，全国高中数学联赛）

解：

$(I)$ 直接运用例11证明出的公式令 $n=2003$ ,便得到

$2003+[√2003+12]=2048$

$(II)$ 直接暴力，由 $45²=2025,46²=2116$ ,得

第 $1981$ 项为 $2026$ ,第 $2069$ 项为 $2115$

所以第 $2003$ 项为 $2048$

（第一篇就写写数学吧qwq...）

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