刘嘉概率论22讲《十二，正态分布，最简单却最重要的概率分布》

正态分布是概率分布中最重要的分布，再数学家眼里，他是远远高于其他分布的。

其他分布都是特殊的，只有正态分布是正常的，一般的，从名字上，我们也能感受到它的重要性。

有趣的是正态分布不仅重要而且简单，就像一条对称的倒钟形曲线，中间很高，两边下降，像个鼓起的小山包。

再正态分布的曲线里，横坐标代表随机变量的取值范围，越往右，随机变量的值就越大，纵坐标，则代表概率大小，最底下的概率是0，越往上概率越大。这样曲线上随便找一点，确定他的横坐标，纵坐标，我们就知道了这个值出现的概率是多少。

因为这条曲线左右是对称的，所以中间的最高点，就代表平均值出现的概率最大，数据最多，而两边陡峭下降，就意味着约靠近平均值，数据越多，越远离平均值，数据就越少。

当然，我们不能停留在这种粗糙的描述上，要理解正态分布，必须了解他的三个数学性质。

1，均值就是期望

也就是说，正态分布中间最高点的横坐标，不仅代表随机变量的平均值，而且还等于他的数学期望，这是经过数学证明的，在概率论中，正态分布的均值和期望是一个意思，是一件事儿的两种表达。

我们前面讲过，数学期望代表长期价值，而现在平均值又是数学期望，也就是说，在正态分布中，平均值就是代表随机事件的价值。

为什么我们会用高考的平均成绩衡量一所高中的教学质量，为什么我们会有平均收益率来衡量一家基金公司的收益，平均值就代表这个随机事件的价值。

只有在正态分不里，平均值才有这个意义，如果不是正态分布，平均值就没啥意义了，比如地震，谁也没听说过平均强度和平均损失这样的说法吧。

2，极端值很少

还记得正态分布的图吗？越靠近平均值，这条曲线越高，出现的概率越大，越远离平均值，这条曲线就越低，出现的概率就越小。这说明，正态分布大多数的数据都集中在平均值附近，极端值很少。

极端值很少这句话有两个含义：意识极端值出现的概率很低，二是极端值对均值影响很小，也因此，正态分布非常稳定，拿人的身高来说吧，它大体服从正态分布，所以即便姚明加入，我们的平均身高也不会有太大变化。

3，标准差决定胖瘦

同样是正态分布图，有的曲线要矮胖一些，有的曲线要高瘦一些，为什么

因为标准差不同，标准差就是方差的平方根，也能用来描述随机变量的波动情况。正态分布中，标准差越大，数据的波动越剧烈，钟形曲线就越矮胖，标准差越小，数据越集中，钟形曲线就越高瘦。

为什么说正态分布简单，因为在正态分布中，平均值等于期望，决定这条曲线的最高点，方差决定胖瘦，决定曲线的弯曲度。简单的两个数据，就确定了这条曲线的形状。

不同的正态分布曲线可以比较吗？

可以的，

第一，只有均值不同，能比较好坏。

第二，只有标准差不同，能比较波动

第三，标准差和均值都不同，能比较专业和业余