简单数学3：同态与同构的群及变换群

2021-07-08 本文已影响0人 areece

同态映射

同态的映射就是能够保持运算的映射，即对于一个 $A$ 到 $\overline A$ 的映射 $\phi$ ， $A$ 中有运算 $\cdot$ ， $\overline A$ 中有运算 $\overline \cdot$ ，如果
$\forall a,b\ f(a\cdot b) = f(a)\overline \cdot f(b)$

同态的群

如果上面的同态映射中的 $A$ 是一个群，则 $\overline A$ 也是一个群。按照习惯，我们分别使用 $G$ 和 $\overline G$ 表示。

群几个性质

G中的单位元 $e$ 在所有同态满射的映射之下有象 $\overline e$ , 则 $\overline e$ 是 $\overline G$ 的一个单位元。
G中的元素 $a$ 有逆元 $a^{-1}$ ，则在同态映射下的像 $\overline a$ 有一个逆元 $\overline {a^{-1}}$ 。