2023-03-03

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$\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \ 2 & 0 & 2 \ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}$
这个矩阵的特征多项式是

$\begin{aligned} \det(A-\lambda I) &= \begin{vmatrix} 3-\lambda & 1 & 1 \ 2 & -\lambda & 2 \ 1 & 1 & 3-\lambda \end{vmatrix} \ &= (3-\lambda)(-\lambda)(3-\lambda) + 2 + 2 - (3-\lambda) - 2(3-\lambda) - (-\lambda) \ &= (\lambda-4)(\lambda-2)^2 \end{aligned}$

所以它有两个不同的特征值： $\lambda_1 = 4$ 和 $\lambda_2 = 2$ 。对于 $\lambda_1 = 4$ ，它对应的特征向量是

$v_1 = \begin{bmatrix} -1 \ 0 \ 1 \end{bmatrix}$

对于 $\lambda_2 = 2$ ，它对应的特征向量是

$v_2 = \begin{bmatrix} 0 \ -1 \ 1 \end{bmatrix}$

但是因为 $\lambda_2$ 的代数重数是 $2$ 而几何重数是 $1$ ，所以还需要找到一个广义特征向量。为此，我们解方程组 $(A-2I)v_3 = v_2$ 得到

$v_3 = \begin{bmatrix} -1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}$

现在我们把这三个向量放在一起构成一个相似变换矩阵

$P = \begin{bmatrix} -1 & -1 & 0 \ 0 & 0 & -1 \ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

那么这个矩阵的Jordan标准形就是

$J = P^{-1}AP = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

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