三角函数客观题：2022年新高考全国卷题10

2022-06-30 本文已影响0人易水樵

已知函数 $f(x)=\sin(4x+\dfrac{\pi}{3})+\cos(4x-\dfrac{\pi}{6})$ ，则下列结论正确的是

A. $f(x)$ 的最大值为 $2$

B. $f(x)$ 在 $[-\dfrac{\pi}{8}, \dfrac{\pi}{12}]$ 上单调递增

C. $f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上有4个零点

D. 把 $f(x)$ 的图象向右平移 $\dfrac{\pi}{12}$ 个单位长度，得到的图象关于直线 $x=-\dfrac{\pi}{8}$ 对称

$\cos(\theta-\dfrac{\pi}{2}) = \sin\theta$

$\cos(4x-\dfrac{\pi}{6}) = \cos(4x+\dfrac{\pi}{3} - \dfrac{\pi}{2})=\sin(4x+\dfrac{\pi}{3})$

∴ $f(x)=2\sin(4x+\dfrac{\pi}{3})$

∴ 选项A正确；

令 $X=4x+\dfrac{\pi}{3}$

$x$ 与 $X$ 的对照关系如下表所示：

$x$	$X$
$-\dfrac{\pi}{8}$	$-\dfrac{\pi}{6}$
$\dfrac{\pi}{12}$	$\dfrac{2\pi}{3}$

$\dfrac{\pi}{2} \lt X \lt \dfrac{2\pi}{3}$ , 函数单调递减，所以，选项B错误；

$x \in [0,\pi]$ , $x$ 与 $X$ 的对照关系如下表所示：

$x$	$X$
$0$	$\dfrac{1}{3}\pi$
$\pi$	$(4+\dfrac{1}{3})\pi$

所以，选项C正确；

把 $f(x)$ 的图象向右平移 $\dfrac{\pi}{12}$ 个单位长度，则解析式变从： $y=g(x)=2\sin4x$ ,

$g(-\dfrac{\pi}{8})=-2\sin(-\dfrac{\pi}{2})=-2$

所以，选项D正确.

结论：选项ACD正确.