叉乘的反对称矩阵

2022-06-13 本文已影响0人光能蜗牛

反对称矩阵的引入

假设有向量
$a=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3 \end{bmatrix}$
$b=\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3 \end{bmatrix}$
对向量做叉乘

image.png
根据上图，

a=a_1i+a_2j+a_3k

b=b_1i+b_2j+b_3k

且有 $i\times j=k,j\times k=i,k\times i =j$
反之 $j\times i=-k,k\times j=-i,i\times k =-j$
任意的 $i\times i=j\times j=k\times k =0$

$a\times b=(a_1i+a_2j+a_3k)\times (b_1i+b_2j+b_3k)$
$=a_1b_1i\times i+a_2b_2j\times j+a_3b_3k\times k$
$+a_1b_2i\times j+a_1b_3i\times k$
$+a_2b_1j\times i+a_2b_3j\times k$
$+a_3b_1k\times i+a_3b_2k\times j$
$=0+a_1b_2k-a_1b_3j-a_2b_1k+a_2b_3i+a_3b_1j-a_3b_2i$
$=(a_2b_3-a_3b_2)i+(a_3b_1-a_1b_3)j+(a_1b_2-a_2b_1)k$
$=\begin{bmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1 \end{bmatrix}$
如果写成把 $b$ 向量保持不变
可以写成如下形式
$a\times b=\begin{bmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 0&-a_3&a_2\\ a_3&0&-a_1\\ -a_2&a_1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{bmatrix}$

此时可以定义运算
$a\times=\begin{bmatrix} 0&-a_3&a_2\\ a_3&0&-a_1\\ -a_2&a_1&0 \end{bmatrix}$
这称之为向量的反对称矩阵

反对称矩阵的性质

在李代数中
$a\times$ 也用 $a^{\wedge}$ 表示
反对称矩阵有一些基本的性质
$aa^{T}=a^{\wedge}a^{\wedge}+||a||^2I_{3\times3}$ $------（1）$
当 $a$ 是单位向量的时候，有
$aa^T=a^{\wedge}a^{\wedge}+I$ $------（2）$
以及
$a^{\wedge}a^{\wedge}a^{\wedge}=-a^{\wedge}$ $------（3）$

证明过程

$aa^{T}=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1&a_2&a_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1a_1&a_1a_2&a_1a_3\\a_2a_1&a_2a_2&a_2a_3\\a_3a_1&a_3a_2&a_3a_3\end{bmatrix}$

$a^{\wedge}a^{\wedge}=\begin{bmatrix} 0&-a_3&a_2\\ a_3&0&-a_1\\ -a_2&a_1&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0&-a_3&a_2\\ a_3&0&-a_1\\ -a_2&a_1&0 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} -a_3^2-a_2^2&a_1a_2&a_1a_3\\ a_1a_2&-a_3^2-a_1^2&a_2a_3\\ a_1a_3&a_2a_3&-a_2^2-a_1^2 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} a_1a_1&a_1a_2&a_1a_3\\ a_1a_2&a_2a_2&a_2a_3\\ a_1a_3&a_2a_3&a_3a_3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -a_3^2-a_2^2-a_1^2&0&0\\ 0&-a_3^2-a_1^2-a_2^2&0\\ 0&0&-a_2^2-a_1^2-a_3^2 \end{bmatrix}$

$=\begin{bmatrix} a_1a_1&a_1a_2&a_1a_3\\ a_1a_2&a_2a_2&a_2a_3\\ a_1a_3&a_2a_3&a_3a_3 \end{bmatrix}-||a||^2\begin{bmatrix} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{bmatrix}$

$=aa^T-||a||^2I$
当 $a$ 为单位向量时候
$a^{\wedge}a^{\wedge}=aa^T-I$

$a^{\wedge}a^{\wedge}a^{\wedge}=a^{\wedge}aa^T-||a||^2a^{\wedge}$

$=\begin{bmatrix} 0&-a_3&a_2\\ a_3&0&-a_1\\ -a_2&a_1&0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_1a_1&a_1a_2&a_1a_3\\ a_1a_2&a_2a_2&a_2a_3\\ a_1a_3&a_2a_3&a_3a_3 \end{bmatrix}-||a||^2a^{\wedge}$

$=\begin{bmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\\ \end{bmatrix}-||a||^2a^{\wedge}$

$=-||a||^2a^{\wedge}$
当 $a$ 为单位向量时候
$a^{\wedge}a^{\wedge}a^{\wedge}=-a^{\wedge}$

叉乘的反对称矩阵

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反对称矩阵的性质

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