期望与方差之一：你们究竟是什么！？

期望值（Expectation）和方差（Variance）是统计学入门绕不过去的两个指标。许多教科书一上来就用上各种符号和公式，让一些基础不好的同学摸不着头脑。本文试图用最直接的例子给各位解释一下这两个概念。

比如，现在有一个数组：

0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3

若要求这个数组的平均数，则有：

这种计算办法，我们叫作算术平均数（Arithmetic Mean）。

让我们重新观察一下这个数组。我们发现，里面的元素（element）有自己各自的出现次数。比如0出现了1次，2出现了3次等。这些出现次数，我们称之为频数（Frequency）。本数组的频数总结如下表：

频数表

于是，上面算术平均数，也可以写成加权平均数（Weighted Mean）形式：

不知道各位小时候有没有这个困惑。我记得我是在小学六年级左右学习加权平均数的，但是加权平均数与算术平均数不就是算出同一个结果吗？为什么要多发明出一个玩意来增加负担呢？这个问题直到我大一的时候学习了期望值才得以解决。原来只要稍微变换一下上式，即可得：

这时，原数组的平均数被写成其四个元素0，1，2，3分别乘以各自概率（Probability）再求和的形式。这种写法，也就是所谓期望（也称数学期望）的定义。期望值通常用希腊字母或者概率函数形式表示：

这里有必要解释一下概率这个词。这个词是属于那种日常对话经常用到，但是要解释起来好像说不透的一个词。实际上，所谓概率就是占比（Portion）。比如一个班有32人，其中男生12人，女生20人，那么男生的概率（或占比）就是12/32 = 0.375，女生的概率（或占比）就是20/32 = 0.625 。因此，有时理解不透的话，不妨用占比甚至百分比来理解概率，会更容易一点。

因此，上面数组的期望值可以拆分成下面表格理解：

原数组的期望值

通过上面几种形式，不论数组均值用哪种方法计算，最后的结果还是2 。因此，期望值实质就是这个数组的总体均值。这里需要注意的是“总体”一词。总体（Population）是一个统计学术语，指的是这个研究内容的所有对象。与它相对应的词是样本（Sample），也就是这个研究内容的部分对象。

如果说期望值描述的是一组数据的总体趋势（Central Tendency），那么方差（Variance）则是描述这个组数据的离散程度（Dispersion）。所谓的离散程度，指的是各个数值与均值距离形成的一个度量，其计算公式为：

其中，希腊字母为方差，希腊字母 （读sigma）为标准差（本节先不讨论），Var(X)是计算总体X的方差函数。乍一看，这个公式很复杂，我们先用一个最简单的数组为例。比如一组数据只有1,2,3,4四个数字。那么容易得到这四个数字的均值为2.5，写成期望值有：

而方差，实际就是每一个元素与均值的差的平方求和，再取均值，即：

这组数据之所以说是“简单的”，是因为每一个元素只出现了一次，因此其出现概率均为1/4，频数不明显。但是对于本文第一个数组，每个元素的频数是不一样的，因此，其方差从展开到一般，有：

因为，四个元素的频数不一样，所以上式进一步写成加权平均形式：

这个式子，也可拆分“元素乘以概率”的形式：

如果把每一项看成一个新的数组元素的话，那么方差则可以写成下面等价的期望值形式:

最后提醒一下，和的x用大写，因为它表示的是这个数据总体，而求和展开式的x则用小写，因为它们代表数据里面的每一个元素。