Representation theory of Lorentz

之前在看最近比较active 的Lorentzian inversion formula 的时候，特别是关于non-compact 群的表示论，调和分析方面，产生了很多疑惑。主要就是和我之前在学习compact lie 群时形成的intuition 不太吻合，所以觉得很有意思。一点一点把疑惑找到然后解开吧。

看Wikiversity （Wikipedia 的学术扩充版？）上 “Representation theory of Lorentz group”的词条后，有了一些新的理解。主要时通过Lorentz group这个比较简单的non-compact 群的例子来说明的。

一般来说QFT可以从Lorentz group 的不可约表示来分析。我当时的逻辑是这样的，首先把SO（1，3）看成两个SU（2），然后他的不可约表示就由另个quantum number里label （n,m）.这里就可以有scalar，vector，spinor 表示什么的。然后再根据 non-compact 群的unitary 表示不能是有限维的，所以scalar，vector，spinor 表示的作用线性空间就变成了各种场。
这么理解看似有道理，但是有一个问题就是 其实 Lorentz 群的unitary 的不可约表示只有 principle series，complementary series 还有trivial。所以我上面提到的逻辑是错的，我不能先考虑离散并且是有限维的表示（m,n），因为他不是unitary 的。
正确的想法是，在QFT里我们讨论的自旋是little group （质心系对称群）SO（3）的量子数，（m,n）限制在SO（3）下是unitary的，但是可能不是不可约的了。

non-compact群有限维表示一般是通过unitary技巧得到。对于Lorentz群，我们知道有3维转动操作J还有boost K。转动群是compact的了，J是Hermition的，而K是anti-Hermition的。但是如果我们考虑complex属于，iK就是Hermition的了，这样我们有了两个SU（2）。两个SU（2）群的不可约表示就对应到了Lorentz群的不可约表示了。
这个是不是就和量子力学里用 i P 作为动量算符一样。本来平移是non-compact的，complex 后就可以用U（1）这个compact群的不可约表示。

最后说说对inversion formula 一个新的理解。
Lorentz群在希尔伯特空间的完备基应该是principle series。但是问题是物理谱并不在上面。怎么用principle series展开的结果得到我们想要的在物理谱上的展开？Euclidean inversion formula 就解决了这个问题。虽然看起来这个inversion formula很trivial。但是数学上的，物理上我觉得不直接。
Lorentz inversion formula可以同样的这样理解，就是怎么用SO（d，2）的principle series 这组完备基展开的结果得到我们想要的物理谱上展开的结果。