整式的乘除

在探索完成了整式的加减以后，接下来要探索的是关于整式的乘除的问题。当然为了更便捷与探索，应当还是再回顾一下整式的加减以及代数式的分类。

代数式的分类实际上是分为了分式和整式这两类，分式也就是分母含有字母的代数式，那么整式也就与之相反，是分母不含有字母的代数式（当然整式中也并不一定含有分数。）

整式是可以分为单项式和多项式的，单项式是指只有乘除运算的整式，多项式是指除了成熟以外还有加减运算的整式，当然多项式也可以理解为几个单项式相加或相减。

于是我们才开始探索的就是整式，整式的加减，实际上本质是找同类项，同类项可以进行加减运算。什么是同类项？同类项是指底数和指数都相同的幂，或者是指字母相同而指数都为一的项，也就是说同类项并不一定都是以幂的形式出现的。同类项也可以指一个单项式，比如ab和ab就是同类项，而ab很明显是一个单项式。

回顾完了整式的加减，同类项的定义，以及对于代数式的分类，接下来我们就要对整式的乘除进行分类了。

在探索整式的乘法的时候，我认为可以分成三个板块，第1个是单项式乘单项式，第2个是单项式乘多项式，第3个是多项式乘多项式。

在探索整式的除法的时候，我认为可以分为4个板块，第1个是单项式除单项式，第2个是多项式除单项式，第3个是单项式除多项式，第4个是多项式除多项式。

首先我们要探讨的是乘法。

那么我们碰到的第1个问题也就是单项式乘单项式的问题，在单项式乘单项式中也是有两种类型的，可以化简的以及不可以化简的。

不可以化简的，就比如： ab×cd，很明显最后的答案是abcd，实际上这样计算与没有计算是完全没有区别的，只不过是省却了一个符号。

而在计算出结果以后可以化简的，大体上可以分为三类。也就是同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方问题。

同底数幂的乘法就比如： a²×a⁴，以下是计算过程：

a²×a⁴

=（aa）（aaaaa）

=aaaaaa

=a⁶

再比如：b⁴×b⁹，以下是计算过程：

b⁴×b⁹

=（bbbb）（bbbbbbbbb）

=bbbbbbbbbbbbb

=b¹³

通过观察我们可以发现，结果的指数实际上是两个乘数的指数的和，可见同底数幂的乘法法则也就是：底数不变，指数相加。那么是否通过严谨的数学推理来证明呢？如：aⁿ×aʸ

推理过程：

aⁿ×aʸ

=aaa…（ n个a）×aaa…（ y个a）

=aaaaa…（ n+y个a。）

=aⁿʸ

证明完毕。

接下来是幂的乘方，比如：（a³）⁴，以下是计算过程：

（a³）⁴

=a³a³a³a³

=a¹²（根据同底数幂的乘法法则得出）

再比如：（a⁵）²

=a⁵a⁵

=a¹⁰（根据同底数幂的乘法法则得出）

可见，幂的乘方的一般形式是：（aⁿ）ʸ，在计算以前特例时我们会发现，结果的指数是两乘数指数的乘积，因此可以判断

（aⁿ）ʸ=aⁿʸ

那么该如何用数学逻辑推理证明出来呢？

（aⁿ）ʸ

=aⁿaⁿaⁿaⁿaⁿ…（ y个aⁿ相乘）

=aⁿʸ（根据同底数幂的乘法法则）

接下来是积的乘方问题，比如：（ab）³，以下为计算过程：

（ab）³

=（ab）（ab）（ab）

=aaabbb（通过乘法交换律）

=a³b³（通过同底数幂的乘法法则）

因此我们可以总结出积的乘方的一般形式为：（ab）ⁿ，根据经验，我们可以推论出结果为：aⁿaⁿ，因为通过观察特例，我们会发现，两数的积的几次方，等于两数分别的几次方的乘积。那么我们应该如何用严谨的数学推理来证明？

（ab）ⁿ

=abababab…（ n个ab相乘）

=aaaaa…（ n个a相乘）bbbb…（n个b相乘）

=aⁿaⁿ

实际上我们会发现幂的乘方以及积的乘方是有相同的部分，实际上他们都是从幂的形式演变而来的。

一个正常的幂的形式是这样的：aⁿ

幂的乘方实际上就是把这里的底数换成了一个幂，比如说把a换成了a的y次方，那么其形式也就变成了：

（aʸ）ⁿ

积的乘方实际上是把幂的形式的底数变成了一个乘积，比如说把a换成了ab。那么其形式也就变成了：

（ab）ⁿ

那么如果我们把其中的底数换成一个加法算式呢？这实际上就和多项式乘多项式有关系了，我将放到以后来讨论。

多项式乘单项式，实际上只需要明白其运算步骤就可以了，首先我们只需要举出其中的一个一般形式：ab（ab+na²b）第1步我们应该采用乘法分配律来拆括号，也就将这个算式变成了

abab+na²bab

然后再通过同底数幂的乘法法则，我们可以将这个算式转化为：

a²b²+na³b²

所以呢，单项式乘多项式的，一般步骤也就是：

1.通过乘法分配律拆括号

2.通过同底数幂的乘法法则进行化简，最后得出最终结果。

最后也就是多项式乘多项式了，首先可以先来讨论的，也就是在最开始单向式乘单向式是我们所联系到的，把一个幂的底数变成一个加法算式，比如：

（a+b）²

如果我们将a+b看作一个整体的话，那这就是一个幂。可是如果我们把a+B看作一个多项式的话，那么这个式子就是一个多项式乘多项式。

那么这个式子该如何计算？

我们仍然可以把它转化成两个数相乘的形式。

（a+b）（a+b）

接下来我们使用乘法分配律，将第2个a+B看作一个整体，也就会变成：

a（a+b）+b（a+b）

再使用一次乘法分配律，就会变成：

a²⁺ab+ab+b²

再使用整式的加法法则，合并同类项，就会变成：

a²⁺2ab+b²

因此，（a+b）²=a²⁺2ab+b²

而这实际上是一个非常普遍的公式，因为很多的多项式乘多项式都可以化成这个形式，因此这个公式被称为完全平方和。

我们可以接着与幂联系一下，上一次的联系是将幂的底数换成了一个加法算式，那么如果换成一个减法算式呢？比如：（a-b）²

首先我们仍然要将它转化成一个乘法算式的形式，也就是：

（a-b）（a-b）

我们先将第2个a-b看作一个整体，然后使用乘法分配律拆掉括号，此式就会变成：

a（a-b）-b（a-b）

再使用一次乘法分配率拆括号：

a²-ab-ab+b²

再使用一次整式减法法则就会变成：

a²-2ab+b²

这实际上仍然是一个公式，因为也有许多的多项式乘多项式可以化为这个形式，此多项式被称为完全平方差。

当然还有一种比较神奇的多项式乘多项式，类似于：（a-b）（a+b）

首先我们把a+b看为一个整体，再使用乘法分配律拆掉第1个括号：

a（a+b）-b（a+b）

然后再使用一次乘法分配率就会变成：

a²+ab-ab-b²

其中的加ab与减ab抵消，于是此式变成了：

a²-b²

这个公式被称为平方差公式

接下来我们要探索的也就是整式的除法。

首先还是单项式除以单项式，首先我们仍然是要总结出来一个计算过程，我们还是可以举一个实际的例子，比如3a²b³÷ab，我们可以将其化为一个分式，然后就是约分的过程了。我们可以将这个除法算式变成：3a²b³/ab，首先我们将分子和分母同时除以ab，就会将这个分数变成：3ab²/1，那么，3a²b³÷ab=3ab²。

那么如果将除以ab变成除以3ab呢？实际上也就是在约分的时候在分子和分母同时除以一个3，那么，3a²b³÷3ab=ab²

从中我们可以总结出规律，也就是系数相除，同底数幂的次数相减底数不变。

这也就是解决单项式除单项式的一般步骤。

接下来是多项式除以单项式，比如：

在做这些问题的时候，实际上我们首先要做的是提取出因式，也就是将前面的被除数多项式转化成一个乘积的形式，这样的话有助于我们进行约分。

比如在做第1道题的时候，我们就可以提出的因式是m，因此也就将那个算式变成了：m（5m²n²-6m²）÷3m，那么， M被抵消掉，因此此式又变成了：

（5m²n²-6m²）÷3

那么我们只需要根据乘法分配律，把它拆一下括号，然后再进行计算就可以了，在这里变完之后就变得非常简单了。至于我刚才所拍到的其他的题目，也皆可以用这种方法来计算。

在此我们暂时不讨论单项式除多项式的问题。

最后一个要讨论的也就是多项式除以多项式的问题，我们可以举一些特例：

我们会发现前三道题实际上都与完全平方和完全平方差和平方差是有关系的，比如第1道题可以将被除数变成：（a+b）²，那么，（a+b）²÷（a+b）也就等于a+b。

第2道题可以将被除数变成：（3a-b）²

第3道题可以将被除数变为：

（4m-3n）（4m+3n）

那么第4道题呢？这道题就相对来讲比较麻烦了，首先我们仍然还要尝试将被除数变成一个乘法的形式，我们会发现被除数是由a³以及1构成的，首先我们可以把a³变得与除数有关系，a（a²+a+1）在这里，我们将a³多加了一个a²以及a，因此我们要再减去a²以及a。因此我们就将a³变成了

a（a²+a+1）-a²-a

由于被除数不只有a³，因此被除数整体应该变成：a（a²+a+1）-a²-a-1，我们会发现，此被除数有一个共同的因式，也就是：

a²-a-1

因此我们可以再将被除数变成：

（a-1）（a²+a+1）

那么本来问题的算式也就变成了：

（a-1）（a²+a+1）÷（a²+a+1，因此最后的答案也就是a-1。

因此，如果根据乘除互逆，这个算式就变成了：a³-1=（a-1）（a²+a+1），有没有感觉这条式子和以前的式子很像？是的，和a²-b²方非常像， 因为1实际上和1的三次方是互等的，因此这条式子还可以这样表达：

（a-1）³=（a-1）（a²+a+1）这实际上就是立方差公式的一个特例，立方差公式的一般形式应该是：

（a-b）³

那么这条式子在讲话之后应该会变成什么呢？实际上正是会变成：a³-3a²b+3ab²-b²

那么立方和公式的一般形式应该是什么呢？应该是：（a+b）³，在去括号以后会变成：a³+3a²b+3ab²+b³

在未来我们会进行学习的，实际上是分解因式以及整式的除法的更细节的学习。什么是分解因式呢？如果用平方差公式来解释的话，也就是从a²-b²方的形式转化成

（a-b）（a+b）的形式。

那么，整式的乘法与除法会用在哪一些实际应用的问题中呢？最普遍的也就是用在求面积的问题中，比如这道题：

这道题实际上就是在考验我们学习的平方差公式。

这就是关于整式的乘法以及除法。