万有引力客观题：2011年重庆卷题21

2022-02-05 本文已影响0人易水樵

某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过 $N$ 年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示。该行星与地球的公转半径之比为

$A.(\dfrac{N+1}{N})^{\frac{2}{3}} \qquad B.(\dfrac{N}{N-1})^{\frac{2}{3}}$

$C.(\dfrac{N+1}{N})^{\frac{3}{2}} \qquad D.(\dfrac{N}{N-1})^{\frac{3}{2}}$

【解析】

$\dfrac{GMm}{R^2} = \dfrac{4\pi^2}{T^2} \cdot R \cdot m$

$R^3 = \dfrac{GM}{4\pi^2} T^2$

以 $R_1,R_2$ 代表地球和该行星的公转半径，以 $T_1,T_2$ 代表地球和该行星的公转周期；则

$(\dfrac{R_1}{R_2})^3=(\dfrac{T_1}{T_2})^2$

由以上公式还可以看出：公转半径越大，则公转周期越大，公转角速度越小。

由示意图可以看出，该行星公转半径大于地球，角速度小于地球。每过 $N$ 年，当该行星再次运行到日地连线的延长线上时，地球已经围绕太阳运行 $N$ 圈，而该行星运行的圈数应为 $(N-1)$ ，所以

$(N-1)T_2=NT_1$

$\dfrac{T_2}{T_1}= \dfrac{N}{N-1}$

$\dfrac{R_2}{R_1}=(\dfrac{N}{N-1})^{\frac{2}{3}}$

结论：选项B正确.

【提炼与提高】

万有引力是高考物理的一个固定项目，多数情况下以客观题的形式出现。年年如此，难免落入固定的套路。

相比之下，2011年重庆卷显得既有新间、又有背景。此题的背景就是「火星逆行」。这一现象对于日心说、对于万有引力的发现有很大的影响。有兴趣的读者不妨自行查找相减资料。