连续性随机变量分布

2018-11-29 本文已影响0人 Moe丶Yui

设随机变量X的分布函数为F(X)，若存在非负可积函数p(x)，使对任意实数X，有

$F(x)=\int_{-∞}^{x} p(t)dt$

则称，X为连续性随机变量，p(x)为X的概率密度或密度函数，在连续处有p(x)=F'(x)。

概率密度函数的性质：

① $p(x)≥0$

② $\int_{-∞}^{+∞} p(t)dt=1$

连续性随机变量取任意一常数的概率为0

一、均匀分布

$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{b-a} & \quad a\leq x \leq b \\0 & \quad \text{其他 } \end{cases}$

二、指数分布 $X \sim E(\lambda)$

$f(x)=\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x} & \quad \text{x>0,}\lambda\text{为常数}\\0 & \quad \text{其他 } \end{cases}$

$F(x)=\begin{cases}1- e^{-\lambda x} & \quad \text{x>0}\\0 & \quad \text{其他 } \end{cases}$

三、正态分布 $X \sim N(\mu , \sigma^2)$

$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma }e^{\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}} ， -\infty <x< +\infty$

四、埃尔兰分布

$f(x)=\begin{cases}\frac{\lambda^r}{(r-1)!}x^{r-1}e^{-\lambda x}, & \quad x>0\\0, & \quad x\leq0 \end{cases}$

五、伽玛分布 $X \sim \Gamma(\lambda,r)$

$f(x)=\begin{cases}\frac{\lambda^r}{\Gamma(r) }x^{r-1}e^{-\lambda x}, & \quad x>0\\0, & \quad x\leq0 \end{cases}$

其中常数 λ>0,r>0,则称X服从伽玛分布。