Quick Select Algorithm 快速选择算法

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什么是Quick select?

• Quick select算法通常用来在未排序的数组中寻找第k小/第k大的元素。其方法类似于Quick sort。Quick select和Quick sort都是由Tony Hoare发明的，因此Quick select算法也被称为是Hoare's selection algorithm。
• Quick select算法因其高效和良好的average case时间复杂度而被广为应用。Quick select的average case时间复杂度为O(n)，然而其worst case时间复杂度为O(n^2)。
• 总体而言，Quick select采用和Quick sort类似的步骤。首先选定一个pivot，然后根据每个数字与该pivot的大小关系将整个数组分为两部分。那么与Quick sort不同的是，Quick select只考虑所寻找的目标所在的那一部分子数组，而非像Quick sort一样分别再对两边进行分割。正是因为如此，Quick select将平均时间复杂度从O(nlogn)降到了O(n)。

Quick select 算法描述

Input: array nums, int k. (find kth smallest element in an unsorted array)
Output: int target

1. Choose an element from the array as pivot, exchange the position of pivot and number at the end of the array.
   • _The pivot can either be the end element or a random chosen element. A random chosen pivot can make the algorithm much possibly run in average case time. _
2. Partition the array into 2 parts in which the numbers in left subarray is less than (or equal to) the pivot and the numbers in right subarray is greater than (or equal to) the pivot.
3. Exchange pivot (at the end of the array now) with the first element in the right part.
4. Compare k with length of the left subarray, say, len.
   • if k == len + 1， then pivot is the target.
   • if k <= len, repeat from step 1 on the left subarray.
   • if k > len, k = k - len, repeat from step 1 on the right subarray.

Quick Select Java实现

Java代码如下：

public class Solution {
    public int findKthSmallest(int[] nums, int k) {
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            return Integer.MIN_VALUE;
        }
        
        int len = nums.length;
        
        return quickSelect(nums, k, 0, len - 1);
    }
    
    private int quickSelect(int[] nums, int k, int start, int end) {
        
        //Choose a pivot randomly
        Random rand = new Random();
        int index = rand.nextInt(end - start + 1) + start;
        int pivot = nums[index];
        swap(nums, index, end);
        
        int left = start, right = end;
        
        while(left < right) {
            if (nums[left++] >= pivot) {
                swap(nums, --left, --right);
            }
        }
        //left is now pointing to the first number that is greater than or equal to the pivot
        swap(nums, left, end);
        
        //m is the number of numbers that is smaller than pivot
        int m = left - start;
        
        if (m == k - 1) { //in order to find the kth smallest number, there must be k - 1 number smaller than it 
            return pivot;
        }
        else if (k <= m) { //target is in the left subarray
            return quickSelect(nums, k, start, left - 1);
        }
        else { 
            //target is in the right subarray, but need to update k 
            //Since we have discarded m numbers smaller than it which is in the right subarray
            return quickSelect(nums, k - m, left, end);
        }
    }
    
    private void swap(int[] nums, int i, int j) {
        int tmp = nums[i];
        nums[i] = nums[j];
        nums[j] = tmp;
    }
}

注意：在上节和本节中给出的算法和代码无法处理数组中有重复的情况。对于数组中有重复数字的情况，可以先扫描整个数组，利用HashSet或其他数据结构得到所有唯一的数字，然后使用本算法处理。

Quick Select 复杂度分析

1. 时间复杂度
   完整的平均时间复杂度分析非常复杂，在这里不再赘述。有兴趣的可以看这里。
   一般来说，因为我们才用了随机选取pivot的过程，平均来看，我们可以假设每次pivot都能选在中间位置。设算法时间复杂度为T(n)。在第一层循环中，我们将pivot与n个元素进行了比较，这个时间为cn 。
   所以第一步时间为：T(n) = cnc + T(n/2)。其中T(n/2)为接下来递归搜索其中一半的子数组所需要的时间。
   在递归过程中，我们可以得到如下公式：
   T(n/2) = c(n/2) + T(n/4)
T(n/4) = c(n/4) + T(n/8)
...
T(2) = 2*c + T(1)
T(1) = 1*c
   将以上公式循环相加消除T项可以得到：
   T(n) = c(n + n/2 + n/4 + n/8 + ... + 2 + 1) = 2n = O(n)
   因此得到Quick Select算法的时间复杂度为O(n)。

2. 空间复杂度
   算法没有使用额外空间，swap操作是inplace操作，所以算法的空间复杂度为O(1)。