有心力问题（8）：开普勒问题中的对时间积分

2020-01-25 本文已影响0人有限与微小的面包

在有心力问题（7）我们重点分析了径向距离 $r$ 与极角 $\theta$ 的关系。接下来我们考虑两个变量分别于时间的关系：

$t = \sqrt{\frac{m}{2}}\int_{r_0}^{r} \frac{dr}{\sqrt{\frac{k}{r_0} - \frac{l^2}{2mr^2} + E}}$

角动量守恒，于是 $dt = \frac{mr^2}{l}d\theta$

轨迹方程为： $\frac{1}{r} = \frac{mk}{l^2}\left(1 + e\cos(\theta - \theta^{\prime})\right)$

$\implies \frac{mr^2}{l} = \frac{l^3}{mk^2(1 + e\cos(\theta - \theta^{\prime}))^2}$

换元后的积分变为：

$t = \frac{l^3}{mk^2}\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\theta}{\left[1 + e\cos(\theta - \theta^{\prime})\right]^2}$

与之前的积分相同，该积分拥有解析解。

作为例子，考虑抛物线轨道，即 $e = 1$ 。令 $\theta^{\prime} = 0$ ，将极坐标系放在抛物线的焦点，零度极角则对应微粒正处于近心点。

积分可改写为：

$t = \frac{l^3}{mk^2}\int_{0}^{\theta}\frac{d\theta}{(1 + \cos\theta)^2}$

使用二倍角关系 $1 + \cos\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2}$

代入积分：

$\begin{align*}t &= \frac{l^3}{mk^3}\int_0^{\theta}\frac{d\theta}{4\cos^4\frac{\theta}{2}}\\&= \frac{l^3}{4mk^3}\int_0^{\theta}\sec^4\frac{\theta}{2}\;d\theta\\&= \frac{l^3}{4mk^3}\int_0^{\theta}\left(1 + \tan^2 \frac{\theta}{2}\right)^2\; d\theta\end{align*}$

令 $x = \tan\frac{\theta}{2}$ ， $dx = \frac{1}{2}\sec^2\frac{\theta}{2}\; d\theta$ $\implies d\theta = 2\cos^2\frac{\theta}{2}\; dx$

$\begin{align*}t &= \frac{l^3}{4mk^2}\int_0^{\tan\frac{\theta}{2}}(1 + x^2)^2\frac{2}{(1 + x^2)}dx\\&= \frac{l^3}{2mk^2}\int_0^{\tan\frac{\theta}{2}}(1 + x^2)dx\\&= \boxed{\frac{l^3}{2mk^2}\left(\tan\frac{\theta}{2} + \frac{1}{3}\tan^3\frac{\theta}{2}\right)}\end{align*}$

很明显，极角 $\theta \in (-\pi,\pi)$ ，当 $t \rightarrow \infty$ ，微粒从无限远处趋近 $\theta = -\pi$ ；当 $t = 0$ 时，微粒抵达近心点， $\theta = 0$ ；当 $t \rightarrow \infty$ ，微粒从 $\theta = \pi$ 运动至无限远处。极角关于时间的函数则可通过反求结果中的 $\theta$ 得到。

$\bullet$ 另一种更简便的方式则需要我们用到对偏近点角(eccentric anomaly)的定义：

$r = a(1 - e\cos\psi)$

偏近点角 $\psi$ 作为辅助变量，是天文学和轨道力学中的三大角参数之一（其余两个分别是：平近点角(mean anomaly)和真近点角(true anomaly)）。它被用来确定一个运动在具有与开普勒轨道的半长轴相同半径的辅助圆轨道上伪体的位置。

图中伪体

P^{\prime}

与轨道中心

C

的连线和长轴组成的角

\angle E

即为偏近点角，

\angle f

则是所谓的真近点角。（来自：Wikipedia）

这一定义很好得到。

设 $P$ 点的位置为 $(x,y)$ ，使用偏近点角可表示为：

$\cos E = \frac{x}{a};\quad\sin E = \frac{y}{b}$

在上图构成的一个三角形中可以使用毕达哥拉斯\勾股定理：

$\begin{align*}r^2 &= (b\sin E)^2 + (c - a\cos E)^2\\&= a^2(1 - e\cos E)^2\end{align*}$

$\implies \boxed{r = a(1 - e\cos E)}$

$\bullet$ 对比轨道方程

$r = \frac{a(1 - e^2)}{1 + e\cos(\theta - \theta^{\prime})}$

偏近点角 $\psi \in (0,2\pi)$ ，在近心点 $\theta = 0$ ， $\psi = 0$ ；在远心点 $\psi = \theta = \pi$ 。

$\bullet$ 对于开普勒椭圆轨道，有

$e = \sqrt{1 - \frac{l^2}{mka}} \implies l = \sqrt{mka(1 - e^2)}$

$E = -\frac{k}{2a}$

用含有 $a$ ， $e$ 和 $k$ 的表达式替换积分中的 $E$ 和 $l$ ：

$\sqrt{\frac{m}{2k}}\int_{r_0}^{r}\frac{rdr}{\sqrt{r - \frac{a(1-e^2)}{2} - \frac{r^2}{2a}}}$

使用偏近心角的定义： $r = a(1 - e\cos\psi)$ ， $dr = ae\sin\psi\;d\psi$

换元后得

$t = \sqrt{\frac{ma^3}{k}}\int_0^{\psi}(1 - e\cos\psi)\;d\psi$

如果积分范围包括 $\psi$ 的整个 $2\pi$ 弧度，

$t = \tau = \sqrt{\frac{ma^3}{k}}\left.(\psi - e\sin\psi)\right|_{\psi = 0}^{2\pi} = 2\pi a^{3/2}\sqrt{m/k}$

有心力问题（8）：开普勒问题中的对时间积分

猜你喜欢

热点阅读