数学之美（34）——吹起托里拆利的小号，聆听自然数学的旋律

如果你的朋友给你一升的油漆，并要求你用这些油漆涂满无止境的曲面时，你怎么选择曲面呢？

这个问题相信不同的人会有不同的答案。

其中，最著名的一个答案是：托里拆利的小号。

这个图形是怎么得到的呢？

Part.1

我们将反比例函数y=1/x（x≥1）的部分，绕x轴旋转一周就得到了这个小号。

通过标准微积分运算可以证明该物体是体积有限却表面积无限的特征。

Part.2

自相矛盾？

就数学的意义而言，我们可以朝此小号内注水或油漆等液体，由于其体积有限，势必可以注满。也就相当于均匀地涂抹了它的"每一寸肌肤"。

这不是很矛盾吗?试想，这是一个表面积无限的几何体，怎么可能均匀涂抹呢？

不过在这里，提醒大家，这个小号仅仅是在我们数学意义上构造出来的一个几何体，所谓的“填满”也仅仅是基于其体积有限的基础上的一种说法，这也是一种粗略的说法而已。

Part.3

那么，我们深入一些，探究函数：

中，当a等于多少时，我们可以画出一个类似于小号的体积有限，而表面积无限的图形呢？

这个问题我们可以展开思维去想象，去探究吧……

Part.4

祖暅（geng，四声）原理

祖冲之的儿子.

祖暅原理也就是"等积原理"。

是由我国南北朝杰出的数学家、祖冲之的儿子祖暅首先提出来的。祖暅原理的内容是:夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。

托里拆利小号的发现是在微积分发明前用祖暅原理得出的。然后他算出了这个小号的一个性质——它的表面积无穷大，可它的体积却是 π。这明显有悖于人的直觉。体积有限的物体，表面积却可以是无限的！

换句话说，填满整个托里拆利小号只需要有限的油漆，但把托里拆利小号的表面刷一遍，却需要无限多的油漆!这个形状是由的曲线沿轴旋转而成。

Part.5

通俗解释

我们以此小号的体积为V，铺设油漆的厚度为h，面积为S，

则V=hS，

即：S=V/h，

V是一个固定不变的数，当h→0，即铺设厚度很薄很薄，接近于0时，那么面积S就会很大很大了。

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