线性代数之——行列式公式及代数余子式
计算机通过主元来计算行列式,但还有另外两种方法,一种是大公式,由 项置换矩阵组成;另一种是代数余子式公式。
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主元的乘积为 。
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大公式有 项,但只有 5 个非零项。
16 来自于对角线上 4 个 2 的乘积,其余的通过公式我们也都可以找到。
- 代数余子式公式用第一行的数字 2,-1,0, 0分别乘以它们的代数余子式 4, 3, 2, 1,得到 8-3 = 5。
1. 主元公式
消元过程会让主元 最后出现在矩阵 的对角线上,如果没有行交换,那么有:
如果有行交换,那么有 而且有 ,所以
如果主元的个数少于 ,那么 ,矩阵是不可逆的。
- 例 1
- 例 2
而且,我们可以看到,前 个主元来自于矩阵 左上角大小为 的矩阵 。
假设没有行交换,那在我们消元的过程中,有 ,因此
2. 大公式
大公式直接利用矩阵中的每一个元素来计算行列式,一个 矩阵的计算公式如下所示。
注意到,每一项乘积的三个元素都分别来自于矩阵中的三行和三列,而其前面的符号其实是由置换矩阵来决定的。
由行列式的线性性质我们可以将一个 矩阵的行列式分成四项:
其中,第一个和第四个行列式为 0,因为它们有全零列。因此,只余下 项需要计算。
对于一个 的矩阵,其行列式可以分成 27 项,但只有 6 个非零项。
前面三个置换矩阵有偶数次行交换,因此其行列式为 1;而后面三个置换矩阵有奇数次行交换,因此其行列式为 -1。
因此,矩阵 的行列式是 项简单行列式的和,每一项的系数是 1 或者 -1,其中简单的行列式是从每一行每一列中选取一个元素组成。
3. 代数余子式公式
利用行列式的线性性质,我们将第一行的三个元素分别提取出来,可以得到。
其中,括号里面的项称为代数余子式(cofactor),它们是 矩阵的行列式。第一行贡献出因子 ,余下的行贡献出代数余子式 ,然后行列式的值就是 。
接下来,我们需要注意符号。要计算 ,我们划掉第 行第 列来产生一个大小为 的子矩阵 ,然后
注意,对其它行来说,也有同样的情况。对 来说,我们划掉第 行第 列来产生一个大小为 的子矩阵 。
同时,行列式也可以沿着某一列进行计算。
代数余子式公式在矩阵中有许多零时是非常有用的。
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