Logistic回归与最大熵模型-理论推导

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logistics与最大熵思维导图.png

1. logistics 回归模型

logistics模型

1.1 logistics模型构建

对于数据集 $T=\{(x_1,y_1),...,(x_N,y_N)\}$ 有
Logistics模型的基本思想也是线性回归，其公式为：
$\begin{align} h_w(x_i) =\frac{e^{w·x_i}} {1+e^{w·x_i}} \tag{1.1} \end{align}$
公式(1.1)被称为sigmoid函数，一般来说，若 $h_w(x_i)>0.5$ 则分类判定为1，否则为0。

1.2 估计参数 $\theta$

设 $P(Y=1|x)=\pi(x)，P(Y=0|x)=1-\pi(x)$ ，则似然函数为：
$\begin{align} L(w) =&\prod_{i=1}^{N}[\pi(x_i)]^{y_i}[1-\pi(x_i)]^{1-y_i} \tag{1.2} \\ log L(w) =&\sum_{i=1}^{N}[y_i({w}·x_i) - log(1+exp({w}·x_i))] \tag{1.3} \end{align}$
目标是找到 $w$ 使得 $L(w)$ 达到最大值，一般使用梯度上升。

2. 最大熵模型

2.1 最大熵原理

首先要明确两个问题：

熵最大有什么意义吗？
我们之前提过信息熵表示不确定程度，所以熵最大，也就是系统的不确定程度最大，系统中没有任何个人的主观假设。

最大熵是什么？
当你要猜一个概率分布时，如果你对这个分布一无所知，那就猜熵最大的均匀分布，如果你对这个分布知道一些情况，那么，就猜满足这些情况的熵最大的分布。

下面两个网址是描述的比较清楚的：

图解最大熵原理（The Maximum Entropy Principle）
决策树-脚注：为什么在等概率的情况下，熵能达到最大值？

2.2 最大熵模型

看完《机器学习面试之最大熵模型》之后，我的理解：

假设有一个样本空间为N的数据集，共有 $m$ 个特征，为 $\boldsymbol{x}=[x_1, x_2, ..., x_m]$ ，类标签为 $\boldsymbol{y}=[y_1, y_2,..,y_k]$ ，我们的目标是求 $P(y|x)$ ，那么，根据样本空间中的N条数据，可以计算出 $\widetilde{P}(x)$ 和 $\widetilde{P}(x,y)$ （因为是根据已知数据求出来的，并不能代表真实世界中的分布，所以上面加了波浪线），然后，定义了一个函数：

特征f是指x与y之间存在的某种特定的关系

“如果 $x,y$ 满足某种条件”，这句话一开始让我摸不着头脑，后来才明白，可以把它看成， $x,y$ 这种组合若出现在样本空间中，则为1，否则为0。它们的个数为 $n$ 个。

这样的话，就可以算 $f(x,y)$ 的期望了：

特征函数 $f(x,y)$ 关于 $\widetilde{P}(x,y)$ 的期望值为：
$E_{\widetilde{P}}(f)=\sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y)f(x,y) \tag{2.1}$
由于我们的目标是求 $P(y|x)$ ，那么，借助贝叶斯公式，我们可以得出第二个期望的计算公式：
$E_{P}(f)=\sum_{x,y} \widetilde{P}(x)P(y|x)f(x,y) \tag{2.2}$

如果，这俩公式能相等的话，就十分完美了（注意，这里要把 $\sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y)f(x,y)$ 看成是 $\sum_{x,y} \widetilde{P}(x)P(y|x)f(x,y)$ 的约束条件），于是有：
$\sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y)f(x,y)=\sum_{x,y} \widetilde{P}(x)P(y|x)f(x,y) \tag{2.3}$

根据 $f(x,y)$ 的定义可知，有多少种特征和类标签前的组合，就有多少个约束条件: $f(x,y)$ 。那么，把样本空间中的所有约束条件都算上，

又因为，条件熵为：（为什么请看这里：《决策树【python实现】》— 条件熵）
$H(P) = -\sum_{x,y} \widetilde{P}(x)P(y|x)logP(y|x) \tag{2.4}$

那么，也就是说，我们要在这个空间中找一个“没有任何主观假设的模型”，即条件概率的最大熵。

2.3 最大熵模型的目标函数

找出了约束最优化问题，下面来求解一下。

1. 把求max的问题转化成求min的问题。要求

$\underset{p \in C}{max}\ H(P) = -\sum_{x,y} \widetilde{P}(x)P(y|x)logP(y|x)$
等价于求
$\underset{p \in C}{min}\ -H(P) = \sum_{x,y} \widetilde{P}(x)P(y|x)logP(y|x)\tag{2.5}$
引入拉格朗日算子 $w_1,w_2,...,w_n$ ，可得到方程：
$\begin{align} L(P, w) &= -H(P) + w_0(1-\sum_{y}P(y|x)) + \sum_{i=1}^{n}[w_i (E_P(f_i(x,y))-E_{ \widetilde{P}}(f_i(x,y)))] \tag{2.6}\\ &= \sum_{x,y} \widetilde{P}(x)P(y|x)logP(y|x) + w_0[1-\sum_{y}P(y|x)] + \sum_{i=1}^{n} \{ w_i [\sum_{x,y }P(x,y)f_i(x,y) - \sum_{x,y }\widetilde{P}(x)P(y|x)f_i(x,y)] \}\tag{2.7} \end{align}$

2. 由最优化问题可知，我们的目标是求：

$\begin{align} \underset{p \in C}{min}\ \underset{w}{max}\ L(P,w)\tag{2.8-1} \end{align}$
对偶问题是^[1]
$\begin{align} \underset{w}{max}\ \underset{p \in C}{min}\ L(P,w)\tag{2.8-2} \end{align}$

基本思想是：先把 $\underset{p \in C}{min}\ L(P,w)$ 的解用 $w$ 表示出来，然后再求 $w$ 的解即可。

a.先求 $\underset{p \in C}{min}\ L(P,w)$ ：

当 $L(P,w)$ 满足约束条件时，令
$\psi(w) = \underset{p \in C}{min}\ L(P,w) = L(P_w,w) \tag{2.9}$
设 $\psi(w)$ 的解为 $P_w(y|x)$ ，求 $L(P,w)$ 对 $P(y|x)$ 的偏导数，并令其为0：
$\begin{align} \frac{\partial {L(P, w)}}{\partial{p(y|x)}} &= \sum_{x,y} \{ \widetilde{P}(x)logP(y|x) + \widetilde{P}(x)\} - \sum_{y}w_0 + \sum_{i=1}^{n} \{ w_i [0 - \sum_{x,y }\widetilde{P}(x)f_i(x,y) ] \} \\ &= \sum_{x,y}\widetilde{P}(x) ( logP(y|x) + 1) - \sum_{x,y}\widetilde{P}(x)w_0 - \sum_{i=1}^{n} \{ w_i \sum_{x,y }\widetilde{P}(x)f_i(x,y) \} \\ &= \sum_{x,y}\widetilde{P}(x) ( logP(y|x) + 1) - \sum_{x,y}\widetilde{P}(x)w_0 - \sum_{i=1}^{n} \{ w_i \sum_{x,y }\widetilde{P}(x)f_i(x,y) \} \\ &= \sum_{x,y}\widetilde{P}(x) \{( logP(y|x) + 1) - w_0 - \sum_{i=1}^{n} w_i f_i(x,y) \}\tag{2.10} \end{align}$
令式(2.10)为 $0$ ，则有：
$\begin{align} 0 =& \sum_{x,y}\widetilde{P}(x) \{( logP(y|x) + 1) - w_0 - \sum_{i=1}^{n} w_i f_i(x,y)\} \\ p(y|x) =& exp ( w_0 + \sum_{i=1}^{n} w_i f_i(x,y)-1 ) \\ p(y|x) =& \frac{exp (\sum_{i=1}^{n} w_i f_i(x,y))} {exp ( w_0 -1) }\tag{2.11} \end{align}$
又因 $\sum_{y}p(y|x)=1$ ，代入公式(2.11)，则有：
$\begin{align} 1 =& \sum_{y} \frac{exp (\sum_{i=1}^{n} w_i f_i(x,y))} {exp ( w_0 -1) } \\ exp ( w_0 -1) =& \sum_{y} exp (\sum_{i=1}^{n} w_i f_i(x,y))\tag{2.12} \end{align}$
令(2.12)为 $Z_w(x)$ ，代入(2.11)，结果记为 $p_w(y|x)$ ，则有
$\begin{align} p_w(y|x) =& \frac{exp (\sum_{i=1}^{n} w_i f_i(x,y))} {\sum_{y} exp (\sum_{i=1}^{n} w_i f_i(x,y))}\tag{2.13} \end{align}$
因此，优化目标 $\psi(x)$ 的解为公式(2.13)，其中 $Z_w(x)$ 被称为规范化因子。

b. 再使(2.13)极大化，求 $w$

即求
$\begin{align} \underset{w}{max}\ \psi(w)\tag{2.14} \end{align}$
在公式(2.6)中，因为 $p_w(y|x)$ 是在 $\sum_y p(y|x)=1$ 的条件下得出，故而有：
$\begin{align} L(P_w, w) &= -H(P_w) + \sum_{i=1}^{n} [w_i (E_{\widetilde{P}} (f_i(x,y)) - E_{P_w}(f_i(x,y)))] \\ &=\sum_{x,y} \widetilde{P}(x) P_w(y|x) log P_w(y|x) + \sum_{i=1}^{n} w_i (E_\widetilde{P} (f_i(x,y)) - \sum_{x,y}\widetilde{P}(x)·P_w(y|x)·f_i(x,y)) \\ &= \sum_{i=1}^{n}w_i ·E_{\widetilde{P}}(f_i(x,y)) + \sum_{x,y} \widetilde{P}(x) P_w(y|x)·(log P_w(y|x) - \sum_{i=1}^{n} w_if_i(x,y)) \tag{2.15} \end{align}$

将
$\begin{align} P_w(y|x) =& \frac{exp (\sum_{i=1}^{n} w_i f_i(x,y))} {\sum_{y} exp (\sum_{i=1}^{n} w_i f_i(x,y))}\tag{2.13} \end{align}$
代入公式(2.15)，得
$\begin{align} L(P_w, w) &= \sum_{i=1}^{n}w_i ·E_{\widetilde{P}}(f_i(x,y)) + \sum_{x,y} \widetilde{P}(x) P_w(y|x)·(\sum_{i=1}^{n} w_i f_i(x,y)-logP_w(x) - \sum_{i=1}^{n} w_if_i(x,y)) \\ &= \sum_{i=1}^{n}w_i ·E_{\widetilde{P}}(f_i(x,y)) - logZ_w(x) · \sum_{x,y} \widetilde{P}(x) P_w(y|x) \tag{2.16} \\ &=\sum_{i=1}^{n}w_i ·E_{\widetilde{P}}(f_i(x,y)) - logZ_w(x) ·( \sum_{x}\sum_{y} \widetilde{P}(x) P_w(y|x)) \\ &=\sum_{i=1}^{n}w_i ·E_{\widetilde{P}}(f_i(x,y)) - logZ_w(x) ·( \sum_{x}\widetilde{P}(x))\\ &=\sum_{i=1}^{n}w_i ·\sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y)f_i(x,y) - logZ_w(x) ·( \sum_{x}\widetilde{P}(x))\tag{2.17} \end{align}$
由于(2.17)式并没有一个显式的解析解，因此需要借助于数值的方法。由于是一个光滑的凸函数，所以可以求解的方法很多。可以使用的方法有：

通用迭代尺度法（GIS: Generalized Iterative Scaling）。
改进的迭代尺度法（IIS: Improved Iterative Scaling）。
梯度下降算法
拟牛顿法（牛顿法）

其中，前两个方法是专门为最大熵模型而设计的，后两种方法为通用的算法。

3. 灵魂两问

3.1 为什么对偶函数的极大化 = 最大熵模型的似然估计

3.1.1 对偶函数极大化

如果不好理解，可以将 $\psi(w)$ 看成是关于 $w$ 的函数。

3.1.1 最大熵模型的似然估计

$\begin{align} L_{\widetilde{P}}(P_w) &= \sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y)logP(y|x) \\ &=\sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y)·(\sum_{i=1}^{n}w_i f_i(x,y)-logZ_w(x)) \\ &= \sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y) ·\sum_{i=1}^{n}w_i f_i(x,y) - logZ_w(x) · \sum_{x,y} \widetilde{P}(x) P_w(y|x) \tag{3.1} \end{align}$
因为公式(2.1)
$E_{\widetilde{P}}(f)=\sum_{x,y} \widetilde{P}(x,y)f(x,y) \tag{2.1}$
所以公式(3.1)=(2.16)。故而，对偶函数的极大化 = 最大熵模型的似然估计。

3.2 logistics模型和最大熵模型，有什么关系？

3.2.1 logistics模型

二分类模型

$\begin{align} P(Y=1|x)=\frac{exp(w·x)}{1+exp(w·x)} \\ P(Y=0|x)=\frac{1}{1+exp(w·x)} \end{align}$

多分类模型

$\begin{align} P(Y=i|x)=&\frac{exp(w_i·x)}{1+\sum_{i=1}^{n-1}exp(w_i·x)},\ i=1,2,3...,n-1\\ P(Y=i|x)=&\frac{1}{1+\sum_{i=1}^{n-1}exp(w_i·x)} \end{align}$

logistics模型的通用表达式

$\begin{align} P(y|x)=\frac{exp(w_i·x)} {\sum_{i=1}^{n}exp(w_i·x)}, i=1,2,3...,n 。其中，w_1=0 \end{align}$

3.2.2 最大熵模型

$\begin{align} p_w(y|x) =& \frac{exp (\sum_{i=1}^{n} w_i f_i(x,y))} {\sum_{y} exp (\sum_{i=1}^{n} w_i f_i(x,y))}\tag{2.13} \end{align}$
当类标签只有两个的时候，最大熵模型就是logistics回归模型。具体原因

4. 参考文献

拉格朗日对偶性（截图取自李航——统计学习方法）

↩

Logistic回归与最大熵模型-理论推导

1. logistics 回归模型

1.1 logistics模型构建

1.2 估计参数 $\theta$

2. 最大熵模型

2.1 最大熵原理

2.2 最大熵模型

2.3 最大熵模型的目标函数

1. 把求max的问题转化成求min的问题。要求

2. 由最优化问题可知，我们的目标是求：

a.先求 $\underset{p \in C}{min}\ L(P,w)$ ：

b. 再使(2.13)极大化，求 $w$

3. 灵魂两问

3.1 为什么对偶函数的极大化 = 最大熵模型的似然估计

3.1.1 对偶函数极大化

3.1.1 最大熵模型的似然估计

3.2 logistics模型和最大熵模型，有什么关系？

3.2.1 logistics模型

二分类模型

多分类模型

logistics模型的通用表达式

3.2.2 最大熵模型

4. 参考文献

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2.3 最大熵模型的目标函数

1. 把求max的问题转化成求min的问题。要求

2. 由最优化问题可知，我们的目标是求：

a.先求：

b. 再使(2.13)极大化，求

3. 灵魂两问

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3.1.1 对偶函数极大化

3.1.1 最大熵模型的似然估计

3.2 logistics模型和最大熵模型，有什么关系？

3.2.1 logistics模型

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3.2.2 最大熵模型

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