高等代数

高等代数理论基础68：酉空间介绍

2019-04-18  本文已影响2人  溺于恐

酉空间介绍

酉空间即复数域上的欧氏空间

定义：设V是复数域上的线性空间,在V上定义一个二元复函数,称为内积,记作(\alpha,\beta),

\forall \alpha,\beta,\gamma\in V,k\in \C具有性质：

1.(\alpha,\beta)=\overline{(\beta,\alpha)},\overline{(\beta,\alpha)}为(\alpha,\beta)的共轭复数

2.(k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta)

3.(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)

4.(\alpha,\alpha)是非负实数,且(\alpha,\alpha)=0\Leftrightarrow \alpha=0

这样的线性空间称为酉空间

例：在线性空间C^n中,对向量\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n),定义内积为

(\alpha,\beta)=a_1\overline{b_1}+a_2\overline{b_2}+\cdots+a_n\overline{b_n}

显然满足定义条件,故C^n成为一个酉空间

重要结论

由内积定义

1.(\alpha,k\beta)=\overline{k}(\alpha,\beta)

2.(\alpha,\beta+\gamma)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma)​

3.\sqrt{(\alpha,\alpha)}称为向量\alpha的长度,记作|\alpha|

4.\forall \alpha,\beta,有|(\alpha,\beta)|\le|\alpha||\beta|,当且仅当\alpha,\beta线性相关时等号成立

柯西-布涅柯夫斯基不等式

5.(\alpha,\beta)=0时称\alpha,\beta正交或互相垂直

注：酉空间中内积(\alpha,\beta)一般为复数,故向量之间不易定义夹角

6.任一组线性无关的向量可用施密特过程正交化,并扩充为一组标准正交基

7.对n级复矩阵A,用\overline{A}表示以A的元素的共轭复数作元素的矩阵,若A满足\overline{A'}A=A\overline{A'}=E,则称为酉矩阵

注：

1)酉矩阵行列式的绝对值为1

2)两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵

8.若酉空间V的线性变换\mathscr{A}满足(\mathscr{A}\alpha,\mathscr{A}\beta)=(\alpha,\beta),则称为V的一个酉变换

注：

1)酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵

2)酉变换类似欧氏空间的正交变换

9.若矩阵A满足\overline{A'}=A,则称为Hermite矩阵

在酉空间C^n中令\mathscr{A}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix},则(\mathscr{A}\alpha,\beta)=(\alpha,\mathscr{A}\beta)

\mathscr{A}也是对称变换

注：埃尔米特矩阵类似欧氏空间的对称矩阵

10.V是酉空间,V_1是子空间,V_1^{\perp}是V_1的正交补,则V=V_1\oplus V_1^{\perp}

设V_1是对称变换的不变子空间,则V_1^{\perp}也是不变子空间

11.埃尔米特矩阵的特征值为实数,它的属于不同特征值的特征向量必正交

12.若A是埃尔米特矩阵,则有酉矩阵C,使C^{-1}AC=\overline{C'}AC是对角矩阵

13.设A为埃尔米特矩阵,二次齐次函数

f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_i\overline{x_j}=X'AX

称为埃尔米特二次型,有酉矩阵C,当X=CY时

f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=d_1y_1\overline{y_1}+d_2y_2\overline{y_2}+\cdots+d_ny_n\overline{y_n}

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