原来，我们是这样记数的
生活中，我们稀松平常地与数字打着交道，一个约定的时间、一件商品的价格、一个人的身高、一间屋子的平方……却很少有人细细想过，这些数字是如何表达出来的？为什么你理所当然地把1024理解为「一千零二十四」而不是别的含义？
也许你从未想过，在这简单的记数中，沉淀着人类的大智慧。
一进制记数法
早在数字的概念产生之前，人类就学会了使用树枝、石子、贝壳等自然界随处可见的小物件表示猎物的、果实的、部落人口的数量。比如在某个角落堆上一堆石子，每打到1只猎物，就扔1颗石子进去，每吃掉2只猎物，就从中取走2颗石子。他们并不在石子的总数，只是时不时地瞅一眼，心底大致有数。
其实这是一种最朴素的记数方式，数学家称之为一进制记数法（unary numeral system）。我们把它符号化一下，比如用斜杠/来表示，1就是/，2就是//，4就是////，8就是////////，好像没毛病，我们平时掰手指用的就是这种记数法，但数字一大，场面就要失控了。
符值相加记数法
于是我们得发明一些其他符号来表示更大的数值，比如用横杠-表示10，用十字+表示100。那么，16就是-//////，32就是---//，128就是+--////////，256就是++-----//////，漂亮。这种靠符号类型和符号数量表示数字的方法被称为符值相加记数法（sign-value notation），古埃及和古罗马用的都是它，只不过符号各不相同。
古埃及的记数符号：
| 1 | 10 | 100 | 1000 | 10000 | 100000 | 1000000 |
|---|---|---|---|---|---|---|
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1024在古埃及就写作：
你会发现，符值相加记数法的一大优点是，符号的顺序可以任意打乱，数字含义不受影响。我国藏族曾用石子表示1、木棍表示10、果核表示100、蚕豆表示1000、瓦片表示10000，那么，当你把1颗蚕豆、2根木棍和4颗石子胡乱地攥在手里，别人依然知道它们是1024。
古罗马的做法略有不同，他们对五进制情有独钟：
| 1 | 5 | 10 | 50 | 100 | 500 | 1000 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| I | V | X | L | C | D | M |
这些符号沿用至今，想必大家（至少对前3个）都比较熟悉，许多钟表喜欢使用罗马数字，1~12分别表示为：I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII、IX、X、XI、XII。你会发现，罗马记数法是符值相加记数法的变种，因为它不光「相加」，还「相减」。这种方式就不允许符号乱序了，IV和VI表示的是不同的数字。
那罗马人何苦要使用这种更复杂的记数法呢？无非是为了读写方便。同样表示9，IX总比/////////更好写、更好读。
其实有一种更好使的方法——用另外一些列符号来表示符号的数量。比如用A表示1个符号，用B表示2个符号，以此类推，用I表示9个符号。上文表示256的++-----//////就可以写作B+5-F/——你一定感觉莫名其妙，这种写法哪里方便了。其实中文的数字表示就是这种形式，只不过我们用得太习惯了，以至于没有发现。
在中文中，个、十、百代替了/、-、+，而一、二、三代替了A、B、C。256就写作二百五十六个，个比较累赘，我们就往往把它省略了。
其实像日语、英语用的也同样是这种记数法，简洁、优雅。
美中不足的是，这种形式虽便于读写，却不便于计算。中国古人为算筹和算盘这类经典算具搭建起广阔的舞台，却没给笔算留出一席之地。想象一下，如果让你把这些汉字写在草稿纸上，列个竖式，你的内心一定非常别扭。
位值制记数法
公元5世纪，印度数学家阿耶波多（Aryabhata 476–550）创立了现在广泛使用的位值制记数法（positional notation/place-value notation），该记数法使用的主要符号，是同为印度人发明的阿拉伯数字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
与符值相加记数法类比，位值制中的1、2、3代替的是A、B、C，那/、-、+呢？是靠阿拉伯数字的位置来表示的。众所周知，最右位相当于/，次右位相当于-。靠每个位置上的数值来表示数字，故名位值制。
严谨的数学家用一种多项式高度概括了位值制记数法的本质，在十进制中，这个多项式是这样的：
这是一个n位十进制数，ai就是第i位上的数值。为便于直观理解，举个1024的例子吧：
由于我们熟悉了十进制，这样费心费力的展开可能会让你觉得好笑，但当我们把它推广到其他进制时，这个多项式的价值就体现了出来。n位b进制数的位值制表示：
1024用二进制怎么表示？
因此，1024的二进制写作10000000000。
2019用二进制怎么表示？
因此，2019的二进制写作11111100011。
除了最普遍的十进制和计算机中的进制，常见的还有七进制（如1周7天）、十二进制（如1年12个月）、十六进制（如古代1斤16两）、六十进制（如六十甲子）等等，只要有意义，任何进制都可以为你所用。
非标准位值制
在上述的多项式中，如果ai或b的取值奇葩一点，就形成了非标准位值制（non-standard positional numeral systems），这类记数法往往应用于专业领域，很难在日常生活中见到。比如标准位值制中的三进制ai的取值为0、1、2，但在一种名为平衡三进制（balanced ternary）的非标准位值制中，ai取-1、0、1，苏联曾使用这种进制研发电子计算机。
