LeetCode - 算法

Swift - LeetCode - 杨辉三角 II

2022-07-31  本文已影响0人  晨曦的简书

题目

给定一个非负索引 rowIndex,返回「杨辉三角」的第 rowIndex 行。

说明:在「杨辉三角」中,每个数是它左上方和右上方的数的和。

示例:

  • 输入:rowIndex = 3
  • 输出:[1,3,3,1]

方法一:递推

思路及解法

杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列。它是中国古代数学的杰出研究成果之一,它把二项式系数图形化,把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来,是一种离散型的数与形的结合。

杨辉三角具有以下性质:

  1. 每行数字左右对称,由 1 开始逐渐变大再变小,并最终回到 1
  2. n 行(从 0 开始编号)的数字有 n+1 项,前 n 行共有 \frac{n \times (n + 1)}{2} 个数。
  3. n 行的第 m 个数(从 0 开始编号)可表示为可以被表示为组合数 C(n,m),记作 C_{n}^{m}{(_{m}^{n})},即为从 n 个不同元素中取 m 个元素的组合数。我们可以用公式来表示它:C_{n}^{m} = \frac{n!}{m! \times (n - m)!}
  4. 每个数字等于上一行的左右两个数字之和,可用此性质写出整个杨辉三角。即第 n 行的第 i 个数等于第 n−1 行的第 i−1 个数和第 i 个数之和。这也是组合数的性质之一,即 C_{n}^{i}=C_{n-1}^{i}+C_{n-1}^{i-1}
  5. (a+b)^n 的展开式(二项式展开)中的各项系数依次对应杨辉三角的第 n 行中的每一项。

依据性质 4,我们可以一行一行地计算杨辉三角。每当我们计算出第 i 行的值,我们就可以在线性时间复杂度内计算出第 i+1 行的值。

代码

class Solution {
    func getRow(_ rowIndex: Int) -> [Int] {
        var result = [[Int]]()
        for i in 0...rowIndex {
            var numArray: [Int] = Array(repeating:0, count:i + 1)
            for j in 0..<numArray.count {
                if j == 0 || j == numArray.count - 1 {
                    numArray[j] = 1
                }
                else {
                    numArray[j] = result[i - 1][j - 1] + result[i - 1][j]
                }
            }
            result.append(numArray)
        }
        return result[rowIndex]
    }
}

优化:
注意到对第 i+1 行的计算仅用到了第 i 行的数据,因此可以使用滚动数组的思想优化空间复杂度。

class Solution {
    func getRow(_ rowIndex: Int) -> [Int] {
        var pre: [Int] = [Int]()
        for i in 0...rowIndex {
            var cur: [Int] = Array(repeating:0, count:i + 1)
            for j in 0..<cur.count {
                if j == 0 || j == cur.count - 1 {
                    cur[j] = 1
                }
                else {
                    cur[j] = pre[j - 1] + pre[j]
                }
            }
            pre = cur
        }
        return pre
    }
}

进一步优化:
能否只用一个数组呢?

递推式 C_{n}^{i}=C_{n-1}^{i}+C_{n-1}^{i-1} 表明,当前行第 i 项的计算只与上一行第 i−1 项及第 i 项有关。因此我们可以倒着计算当前行,这样计算到第 i 项时,第 i−1 项仍然是上一行的值。

class Solution {
    func getRow(_ rowIndex: Int) -> [Int] {
        var row: [Int] = Array(repeating:0, count:rowIndex + 1)
        row[0] = 1
        if rowIndex == 0 {
            return row
        }
        for i in 1...rowIndex {
            var j = i
            while j > 0 {
                row[j] += row[j-1]
                j -= 1
            }
        }
        return row
    }
}

复杂度分析

方法二:线性递推

思路及解法

由组合数公式 C_{n}^{m} = \frac{n!}{m!(n - m)!},可以得到同一行的相邻组合数的关系 C_{n}^{m} = C_{n}^{m-1} \times \frac{n-m+1}{m},由于 C_{n}^{0} = 1,利用上述公式我们可以在线性时间计算出第 n 行的所有组合数。

代码

class Solution {
    func getRow(_ rowIndex: Int) -> [Int] {
        var row: [Int] = Array(repeating:0, count:rowIndex + 1)
        row[0] = 1
        if rowIndex == 0 {
            return row
        }
        for i in 1...rowIndex {
            row[i] = row[i - 1] * (rowIndex - i + 1) / i
        }
        return row
    }
}

复杂度分析

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