Swift - LeetCode - 杨辉三角 II
2022-07-31 本文已影响0人
晨曦的简书
题目
给定一个非负索引 rowIndex
,返回「杨辉三角」的第 rowIndex
行。
说明:在「杨辉三角」中,每个数是它左上方和右上方的数的和。
示例:
- 输入:
rowIndex = 3
- 输出:
[1,3,3,1]
方法一:递推
思路及解法
杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列。它是中国古代数学的杰出研究成果之一,它把二项式系数图形化,把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来,是一种离散型的数与形的结合。
杨辉三角具有以下性质:
- 每行数字左右对称,由
1
开始逐渐变大再变小,并最终回到1
。 - 第
n
行(从0
开始编号)的数字有n+1
项,前n
行共有 个数。 - 第
n
行的第m
个数(从0
开始编号)可表示为可以被表示为组合数 ,记作 或 ,即为从n
个不同元素中取m
个元素的组合数。我们可以用公式来表示它: - 每个数字等于上一行的左右两个数字之和,可用此性质写出整个杨辉三角。即第
n
行的第i
个数等于第n−1
行的第i−1
个数和第i
个数之和。这也是组合数的性质之一,即 。 -
的展开式(二项式展开)中的各项系数依次对应杨辉三角的第
n
行中的每一项。
依据性质 4,我们可以一行一行地计算杨辉三角。每当我们计算出第 i
行的值,我们就可以在线性时间复杂度内计算出第 i+1
行的值。
代码
class Solution {
func getRow(_ rowIndex: Int) -> [Int] {
var result = [[Int]]()
for i in 0...rowIndex {
var numArray: [Int] = Array(repeating:0, count:i + 1)
for j in 0..<numArray.count {
if j == 0 || j == numArray.count - 1 {
numArray[j] = 1
}
else {
numArray[j] = result[i - 1][j - 1] + result[i - 1][j]
}
}
result.append(numArray)
}
return result[rowIndex]
}
}
优化:
注意到对第 i+1
行的计算仅用到了第 i
行的数据,因此可以使用滚动数组的思想优化空间复杂度。
class Solution {
func getRow(_ rowIndex: Int) -> [Int] {
var pre: [Int] = [Int]()
for i in 0...rowIndex {
var cur: [Int] = Array(repeating:0, count:i + 1)
for j in 0..<cur.count {
if j == 0 || j == cur.count - 1 {
cur[j] = 1
}
else {
cur[j] = pre[j - 1] + pre[j]
}
}
pre = cur
}
return pre
}
}
进一步优化:
能否只用一个数组呢?
递推式 表明,当前行第 i
项的计算只与上一行第 i−1
项及第 i
项有关。因此我们可以倒着计算当前行,这样计算到第 i
项时,第 i−1
项仍然是上一行的值。
class Solution {
func getRow(_ rowIndex: Int) -> [Int] {
var row: [Int] = Array(repeating:0, count:rowIndex + 1)
row[0] = 1
if rowIndex == 0 {
return row
}
for i in 1...rowIndex {
var j = i
while j > 0 {
row[j] += row[j-1]
j -= 1
}
}
return row
}
}
复杂度分析
-
时间复杂度:
-
空间复杂度:空间复杂度:。不考虑返回值的空间占用。
方法二:线性递推
思路及解法
由组合数公式 ,可以得到同一行的相邻组合数的关系 ,由于 ,利用上述公式我们可以在线性时间计算出第 n
行的所有组合数。
代码
class Solution {
func getRow(_ rowIndex: Int) -> [Int] {
var row: [Int] = Array(repeating:0, count:rowIndex + 1)
row[0] = 1
if rowIndex == 0 {
return row
}
for i in 1...rowIndex {
row[i] = row[i - 1] * (rowIndex - i + 1) / i
}
return row
}
}
复杂度分析
-
时间复杂度:
-
空间复杂度:空间复杂度:。不考虑返回值的空间占用。