1 参数说明

采样得到数字信号就可以进行快速傅里叶变换（FFT）了，首先需要对参数进行一些说明：
N是采样点个数，相应的经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT运算，通常N取2的整数次方（不小于最高频率的两倍）。

假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始信号的幅度有什么关系呢？

2 参数之间的一些关系

假设原始信号的峰值为A，那么FFT的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量的N倍。

而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点 N的再下一个点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示采样频率Fs，这中间被 N-1个点平均分成N等份，每个点的频率依次增加。

例如:某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。

由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间,频率分辨率和采样时间是倒数关系。

假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是

An=sqrt(a*a+b*b)

相位就是

Pn=atan2(b,a)

根据以上的结果，就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式

An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)

即

2*An /N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)

对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。

由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，即小于采样频率一半的结果。

3 实例分析

下面以一个实际的信号来做说明：
假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为 75Hz、相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：

S=2+3*cos(2*pi*50*t- pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个点之间的间距就是 1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第50个点、第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？

从结果来看，在第1点、第51点、和第76点附近有比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：

• 1点： 512+0i 2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i 3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

• 50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i 51点：332.55 - 192i 52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

• 75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i 76点：3.4315E-12 + 192i 77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i

很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，结果如下：

• 1点： 512 51点：384 76点：192
  按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；

• 50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；

• 75Hz信号的幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。

可见，从频谱分析出来的幅度是正确的。 然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管它。

先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。

再计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达式了，它就是我们开始提供的信号。

4 总结

假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某一点n（n从1开始）表示的频率为：

Fn=(n-1)*Fs/N

• 该点的模值除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以N），该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。
• 相位的计算可用函数atan2(b,a)计算，atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角度值，范围从-pi到pi。
• 要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数。
  这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。具体的频率细分法可参考相关文献。
  Ref：
  https://blog.csdn.net/xingzheouc/article/details/45742605
  atan与atan2的区别-百度百科
  python实现FFT的一个范例（模长计算存疑）