如何快速判断一个数的开方是不是无理数？

引言：

学习完了统计之后，我们开始学习了实数，和我们之前学到了一些有理数，以及对无理数的一些认识进行了简单的回顾后，我们又对实数进行了深一步的探索，并掌握了一种新的运算是乘方的逆运算--开方

  最初接触开放时，同学们也提出了很多有趣的问题，因为有一些数字的开放属于无理数，所以就有一些关于估算和数轴的问题，后来我们就更加精确地去学习了运算，对此同学们也去探索了很多，那我就来分享一下我对我最感兴趣的一个问题的探索--

    如何快速判断一个数的开方是不是无理数？
 

其实判断一个数的开方是不是有理数很简单，就是被开方数是任意一个有理数的平方，那开出来的方就是这个有理数，就例如：

在判定一个数的开方是不是无理数，只需要看这个被开方数是否是一个有理数的平方。为了更加简洁，我们把这样的数叫做完全平方数，所以 要看根号下的那个数是不是完全平方数，即它能写成另一个数的平方。如果是一个完全平方数，开根号后就是有理数;反之，是无理数。

这样看来这个问题好像就解决了，但是好像并不能从根本解决问题，所以我又产生了一个问题：

如何快速的判断一个数是不是完全平方数呢？

  如果我们想快速判断出一个数到底是不是完全平方数，那我们就先要找出完全平方数的一些特征，也可以说是完全平方数的性质。

（但是完全平方数的探索方法实在太多了，所以我们只能找出其中几个以便排除一些数字，也只能通过规律去探索完全平方数）

我们观察这样的一组数:

121  、 12321    、1234321、123454321

当我们第一次看到这些数的时候，第一感觉就觉得这些数很“对称”那这样的数是不是完全平方数呢？他们开平方后的数又是什么样的呢？

121开平方后是11      12321  开平方后是111

1234321开平方后是1111

123454321开平方后是11111

这样我们好像就找到了某种神奇的规律，用文字语言给它总结出来就是这样的：由1构成的数的平方，假设这个数的因数有n个，那么平方就有2n-1个数位，且由右至左或由左至右，第1个数位上为1，第2个数位上为2，…，第n个数位上为n

  那我们得到了一个正向的规律，由此也可以推出它逆向的规结构律，只要这个数形如“对称”结构，那它就一定是一个完全平方数，且开平方后的数每个数位都是由1构成。

通过这一规律我们就找到了完全平方数的一个特征。遇到这类结构的数时，我们可以快速的识别出来，也可以根据他它的数位来判断它的完全平方数是由多少个1构成的。

这就是我对完全平方数的其中一个特征的探索。同时我觉得完全平方数和奇数偶数的平方，质数合数的平方，都密切相关，所以还有很多值得去探索的领域……over^O^