二分查找
二分查找解析 【转】
原文：https://www.cnblogs.com/kyoner/p/11080078.html
推荐大家去阅读原文，本文摘录只是为了方便复习！！
详细二分查找算法
本文将详细的分析探究最常用的二分查找场景：寻找一个数、寻找左侧边界、寻找右侧边界。
而且，我们就是要深入细节，比如while循环中的不等号是否应该带等号，mid 是否应该加一等等。分析这些细节的差异以及出现这些差异的原因，保证你能灵活准确地写出正确的二分查找算法。
二分查找的框架
int binarySearch(int [] nums, int target) {
int left = 0,right =....
while(...) {
int mid = (right + left) / 2;
if( num[mid] == target ) {
...
} else if (nums[mid] < target ) {
left = ....
} else if (nums[mid] > target ) {
right = ...
}
}
return ...
}
分析二分查找的一个技巧是：不要出现 else，而是把所有情况用 else if 写清楚，这样可以清楚地展现所有细节。本文会使用 else if，旨在讲清楚，读者理解后可自行简化。
其中 ... 标记的部分，就是可能出现细节问题的地方，当你见到一个二分查找的代码时，首先注意这几个地方。后文用实例分析这些地方能有什么样的变化。
另外声明一下，计算 mid 时需要技巧防止溢出，建议写成：mid = left + (right - left) / 2。本文暂时忽略这个问题。
寻找一个数（基本的二分搜索）
这个场景是最简单的，可能也是大家最熟悉的，即搜索一个数，如果存在，返回其索引，否则返回 -1
int binarySearch(int[] nums, int target) {
int left = 0;
int right = nums.length - 1; // 注意
while(left <= right ) { // 注意
int mid = (right + left) / 2;
if(nums[mid] == target)
return mid
else if(nums[mid] < target)
left = mid + 1; // 注意
else if(nums[mid] > target)
right = mid - 1; // 注意
}
return -1;
}
1. 为什么 while 循环的条件中是 <= , 而不是 < ?
答: 因为初始化 right 的赋值时 nums.length - 1, 即最后一个元素的索引，而不是 nums.length。
这二者可能出现在不同功能的二分查找中，区别是：前者相当于两端都闭区间 [left , right],后者相当于左闭右开区间 [left, right)，因为索引大小为 nums.length 是越界的。
我们这个算法中使用的是 [left, right] 两端都闭的区间，这个区间就是每次进行搜索的区间，我们不妨成为[搜索区间](search space)
什么时候应该停止搜索呢? 当然找到了目标值的时候可以终止：
if(nums[mid] == target)
return mid;
但是如果没找到，就需要 while 循环终止，然后返回 -1。那 while 循环什么时候应该终止?搜索区间为空的时候应该终止，意味着你没得找了，就等于没找到嘛。
while(left <= right) 的终止条件是 left == right + 1，写成区间的形式就是 [right + 1, right]，或者带个具体的数字进去 [3,2]，可见这个时候搜索区间为空，因为没有数字既大于3又小于等于2的吧？
所以这个时候 while 循环终止是正确的，直接返回 -1 即可
while(left < right) 的终止条件是 left == right，写成区间的形式就是[right,right]，或者带个具体数字进去[2,2]，这个时候收缩区间非空，还有一个数2，但此时 while 循环终止了。也就是说这个区间 [2,2] 被漏掉了，索引 2 没有被搜索，如果这时候直接返回 -1 就可能出现错误。
当然如果你非要用 while(left < right) 也可以，我们已经知道了出错的原因，就打个补丁好了：
while(left < right){
// ...
}
return nums[left] == target ? left : -1;
2. 为什么 left = mid + 1, right = mid - 1? 我看有的代码是 right = mid 或者 left = mid,没有这些加加减减，到底怎么回事，要怎么判断?
答:这也是二分查找的一个难点，不过只要你能理解前面的内容，就很容易判断了。
刚才明确了 [搜索空间] 这个概念，而且本算法的搜索区间是两端都闭的，即[left,right]。那么当我们发现索引 mid 不是要找的 target 时，如何确定下一步的搜索空间呢?
当然是去搜索 [left, mid - 1] 或者 [left + 1,right] 对不对？因为 mid 已经搜索过，应该从搜索区间中去除。
3. 此算法有什么缺陷?
答:至此，你应该已经掌握了该算法的所有细节，以及这样处理，以及这样处理的原因。但是，这个算法存在局限性。
比如说给你有序数组 nums = [1,2,2,2,3], target = 2, 此算法返回的索引是 2，没错。但是如果我想得到 target 的左侧边界，即索引 1，或者我想得到 target 的右侧边界，即索引 3，这样的话此算法是无法处理的
这样的需求很常见。你也许会说，找到一个 target 索引，然后向左或向右线性搜索不行吗？可以，但是不好，因为这样难以保证二分查找对数级的时间复杂度了。
我们后续的算法就是来讨论这两种二分查找的算法。
寻找左侧边界的二分搜索
直接看代码，其中的标记是需要注意的细节：
int left_bound(int[] nums, int target) {
if(nums.length == 0) return -1;
int left = 0;
int right = nums.length; // 注意
while(left < right) { // 注意
int mid = (left + right) / 2;
if(nums[mid] == target) {
right = mid;
} else if(nums[mid] < target) {
left = mid + 1;
} else if(nums[mid] > target) {
right = mid; // 注意
}
}
return left;
}
1. 为什么 while(left < right) 而不是 <= ?
答:用相同的方法分析，因为初始化 right = nums.length 而不是 nums.length - 1。因此每次循环的 [搜索区间] 是 [left,right) 左闭右开的。
while(left < right) 终止的条件是 left == right, 此时搜索区间 [left, left) 恰巧为空，所以可以正确终止。
2. 为什么没有返回 -1 的操作? 如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办?
答:因为要一步一步来，先理解一下这个 [左侧边界] 由什么特殊含义:
image
对于这个数组，算法会返回 1。这个 1 的含义可以这样解读： nums 中小于 2 的元素有 1 个。
比如对于有序数组 nums = [2,3,5,7]
target = 1, 算法会返回 0，含义是: nums 中小于 1 的元素有 0 个。
如果 target = 8，算法会返回 4，含义是：nums 中小于 8 的元素有 4 个。
综上可以看出，函数的返回值（即left变量的值）取值区间是闭区间[0, nums.length]，所以我们简单添加两行代码就能在正确的时候 return -1:
while(left < right){
// ...
}
// target 比所有数都大
if(left == nums.length) return -1;
// 类似之前算法的处理方式
return nums[left] == target ? left : -1
3. 为什么 left = mid + 1， right = mid? 和之前的算法不一样?
答：这个很好解释，因为我们的[搜索区间]是[left, right)左闭右开，所以当 nums[mid] 被检测之后，下一步的搜索区间应该去掉 mid 分割成两个区间，即 [left,mid) 或者 [mid + 1, right)
4. 为什么该算法能够搜索左侧边界?
答：关键在于对于 nums[mid] == target 这种情况的处理：
if(nums[mid] == target)
right = mid;
可见，找到 target 时不要立即返回，而是缩小[搜索区间]的上界 right，在区间[left, mid) 中继续搜索，即不断向左收缩，达到锁定左侧边界的目的。
5. 为什么返回 left 而不是 right?
答：返回 left 和 right 都是一样的，因为 while 终止的条件是 left == right
寻找右侧边界的二分查找
寻找右侧边界和寻找左侧边界的代码差不多，只有两处不同，已标注:
int right_bound(int[] nums, int target) {
if(nums.length == 0) return -1;
int left = 0, right = nums.length;
while(left < right) {
int mid = (left + right) / 2;
if(nums[mid] == target) {
left = mid + 1; // 注意
} else if(nums[mid] < target) {
left = mid + 1
} else if(nums[mid] > target) {
right = mid;
}
}
return left - 1; // 注意
}
1. 为什么这个算法能够找到右侧边界?
答：类似地，关键点还是这里：
if(nums[mid] == target){
left = mid + 1;
}
当 nums[mid] == target时，不要立即返回，而是增大[搜索区间]的下界 left ，使得区间不断向右收缩，达到锁定右测边界的目的。
2. 为什么最后返回 left - 1 而不像左侧边界的函数，返回 left? 而且我觉得这里既然是搜索右侧边界，应该返回right才对
答：首先，while 循环的终止条件是 left == right 所以 left 和 right 是一样的，你非要体现右侧的特点，返回 right-1 好了
至于为什么要减一，这是搜索右侧边界的一个特殊点，关键在这个条件判断：
if(nums[mid] == target) {
left = mid + 1
// 这样想：mid = left - 1
}
image
因为我们对 left 的更新必须是 left = mid + 1，就是说 while 循环结束时，nums[left] 一定不等于 target 了，而 nums[left - 1]可能是target。
至于为什么 left 的更新必须是 left = mid + 1，同左侧边界搜索，就不再赘述。
3.为什么没有返回 -1 的操作？如果 nums 中不存在 target 这个值，怎么办？
答：类似之前的左侧边界搜索，因为 while 的终止条件是 left == right，就是说 left 的取值范围是 [0, nums.length]，所以可以添加两行代码，正确地返回 -1：
while (left < right) {
// ...
}
if (left == 0) return -1;
return nums[left-1] == target ? (left-1) : -1;
最后总结
先来梳理一下这些细节差异的因果逻辑：
第一个，最基本的二分查找算法
因为我们初始化 right = nums.length - 1
所以决定了我们的 搜索区间 是 [left,right]
所以决定了 while(left <= right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid -1
因为我们只需要找到一个target 的索引即可
所以当 nums[mid] == target 的时候可以立刻返回
第二个，寻找左侧边界的二分查找
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的 收缩区间 是 [left, right)
所以决定了 while(left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
因为我们需要找到target的最左侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧右侧的边界以锁定左侧边界
第三个，寻找右边界的二分查找
因为我们初始化 right = nums.length
所以决定了我们的 搜索区间 是 [left,right)
所以决定了 while(left < right)
同时也决定了 left = mid + 1 和 right = mid
因为我们需要找到 target 的最右侧索引
所以当 nums[mid] == target 时不要立即返回
而要收紧左侧边界以锁定右侧边界
又因为收紧左侧边界时必须 left = mid + 1
所以最后无论返回 left 还是 right 都必须减一
如果以上内容你都能理解，那么你就已经明白了二分查找的细节了。
通过上面你学会了:
- 分析二分查找代码时，不要出现else，全部展开成else if方便理解
- 注意搜索区间 和 while 的终止条件，如果存在漏掉的元素，记得最后检查
- 如果需要搜索左右边界，只需要 在 nums[mid] == target 时做出改动就好了。
以上。
