对分式方程，函数，不等式的一些探索

一.以函数y=1/x为例

先用描点作图法做出函数图像

y=1/x，可以观察到函数图像有两个部分

首先，因为x在分母上， 所以x≠0

其次，因为分数1/x的分子为1，所以分数的值不会等于0，所以y≠0

表现在图像上就是函数图像与x，y轴没有交点

该函数对应的方程(1/x＝0)无解，因为

①函数图像与x轴没有交点

②1/x的值不能为0

该函数对应的两个不等式（1/x＞0，1/x＜0）均有解。

解法1：

1/x＞0中，要令1/x的值大于0，只需令x＞0

所以不等式的解集是x＞0

1/x＜0同理，解集是x＜0

解法二：

1/x＞0，也就是y＞0，对应函数图像在第一象限内的图像，x值都大于0

所以不等式的解集是x＞0

1/x＜0同理，解集是x＜0

二.以y＝1/x－2为例

先用描点作图法做出函数图像

图像是将y＝1/x的图像向下平移了两个单位长度

函数对应的方程(1/x－2＝0)有解

解法①:代数法解分式方程，解得x＝0.5

解法②:1/x－2＝0，对应y＝0，对应x等于0.5

函数对应两个不等式(1/x－2＞0，1/x－2＜0)

解法①:x-2＞0，对应AB段函数图像，对应的x值为0＜x＜½

1/x－2＜0，对应AC段与b段图像，对应的x值为x＞½与x＜0

解法②:1/x－2＞0

x＞0时，0＜x＜½

x＜0时，x分之1＜0，x分之1减2也一定小于0，与题意相悖

故原不等式解集为0＜x＜½

1/x－2＜0同理，解集为x＜0和x＞½